Computer graphics plays an important role in rapid development and acceptance of fractal images visualizing the Mandelbrot set and Julia sets from a complex function. In particular, computer rendering of fractal images becomes a central tool to obtain nice fractal images and also to provide an aid for understanding the dynamical behavior of a complex function. In this thesis, we present how to visualize fractal images from complex functions. To obtain nice fractal images, we consider two families of functions which are motivated by Gujar [GB91, GBV92] and Kim [KK93, Kim92], respectively. The first one is a family of functions $f_{\alpha,c}(z)=z^{\alpha}+c$ where α is a real number. The other function is the Newton form of an equation $\exp(-\alpha\frac{\zeta+z}{\zeta-z})-1=0$ where $\mid\zeta\mid=1$ and α > 0.
To apply an advanced visualization technique, we first establish an efficient real valued function indicating the diverging speed of the orbit of a complex point. If the real-valued function is continuous, a 3D fractal object is constructed by giving the height to each complex point according to its corresponding real value. For visualizing a 3D fractal object, advanced rendering techniques such as ray tracing require detection of boundary points of the object and computation of the normal vectors at these points. However, since the boundary of a 3D fractal object has very complicated shapes around a Julia set and the Mandelbrot set, the points on the boundary and their normal vectors are hard to be determined. This thesis presents a method for detecting boundary points of a 3D fractal object and effectively approximating the normal vector at a boundary point.
Under the iteration of a function, if the point at infinity plays a role of an attractor and a filled-in Julia set is connected, then the boundary of a fractal object for the complex function is represented by closed curves in which the orbits of all points on a curve have the same diverging speed. Hubbard [BH88] proposed a curve which is orthogonal to these closed curves. Using the orthogonal property of the curve with the closed curves, we device a new method for approximating the normal vector at a boundary point.
A complex function $f_{\alpha,c}(z)$ provides c-plane fractal images and z-plane fractal images by varying the parameter c and the variable z, respectively. Gujar [GB91, GBV92] conjectured nice graphical features by observing c-plane fractal images and z-plane fractal images from $f_{\alpha,c}(z)$. We investigate the dynamical behavior of a function $f_{\alpha,c}(z)$ and establish visual characteristics which verify the conjectures.
Newton's method is sensitive to an initial guess. It exhibits chaotic behaviors that generates interesting fractal images. Most of them have either a finite number of attractors or unbounded Julia set. We show that the Newton form of an equation $\exp(-\alpha\frac{\zeta+z}{\zeta-z})-1=0$ has infinitely many attractors on the unit circle and bounded Julia sets. The dynamical behavior of Newton's method for finding their roots is visualized.
만델브로트 집합(Mandelbrot set)과 줄리아 집합(Julia set)은 각 입력값에 복소 함수를 반복적으로 적용하므로써 생성된다. 이 집합들의 그래픽 표현은 각 입력값의 동력학적 거동(Dynamical behaviors)에 대한 빠른 인식을 가능케 해준다. 특히, 프랙탈 영상(Fractal image)의 3차원 표현은 복소함수의 동력학적 거동에 대한 이해를 증진시키며 고품질의 프랙탈 영상을 제공한다. 본 논문에서는 복소 함수로부터 생성되는 프랙탈 영상의 3차원 표현과 렌더링 기법을 제안할 것이다. 고 품질의 프랙탈 영상을 얻기위해 본 연구에서는 Gujar[GB91, GBV92] 와 Kim [KK93, Kim92]에 의해 연구가 시작된 두 종류의 복소 함수군을 고려한다. 즉, 실수 차수를 갖는 함수 $f_{\alpha,c}(z)=z^{\alpha}+c$ 와 항등식 $\exp\Bigg(-\alpha\frac{\zeta+z}{\zeta-z}\Bigg)-1=0$ 의 Newton form 이다.
프랙탈 영상의 3차원 표현을 위해 본 논문에서는 각 복소점에서 시작된 점들의 순열이 무한대로 발산하는 속도를 나타내는 효율적인 실수 함수를 개발한다. 이 함수가 연속이라면 각 복소점에 발산속도를 이용한 높이를 부여함으로써 3차원 프랙탈 물체를 얻게된다. 3차원 프랙탈 물체의 그래픽 표현은 물체의 경계면과 각 경계점의 단위 수직벡터를 필요로한다. 그러나, 줄리아 집합과 만델브로트 집합의 주위에서는 경계면이 매우 복잡한 모습을 보이기 때문에 3차원 프랙탈 물체의 경계면 추출과 단위 수직벡터의 계산은 매우 어려운 문제이다. 본 논문에서는 3차원 프랙탈 물체의 경계면을 추출하고 경계점에서의 단위 수직벡터를 근사하는 방법을 제안한다.
복소함수의 반복적 적용에 의해 생성된 줄리아 집합이 연결되었고 무한대에 있는 점이 하나의 수렴점이 되면 발산 속도를 이용한 3차원 프랙탈 물체의 경계면은 같은 발산 속도를 갖는 폐곡선들로 표현된다. Hubbard [BH88]는 폐곡선들에 수직인 곡선을 제안 하였으며, 이 특성에 기초하여 본 논문에서는 각 경계점의 단위 수직벡터를 구하는 방법을 제안한다. 실수 차수를 갖는 복소함수 $f_{\alpha,c}(z)$는 c 와 z 의 값에 따라 두 종류의 프랙탈 영상들을 제공한다. 이 프랙탈들의 그래픽 표현에대한 관측을 통해 Gujar [GB91, GBV92]는 12개의 conjecture들을 제안하였다. 본 논문에서는 $f_{\alpha,c}(z)$의 동력학적 거동을 분석하고, Gujar 가 제안한 시각적 특징들을 증명한다.
뉴턴 방법(Newton's Method)은 시작값에따라 항등식의 임의의 근을 찾는 보편적인 방법 이다. 이는 새로운 형태의 프랙탈 영상을 생성한다. 그러나, 기존의 연구들은 유한개의 수렴점을 갖거나 유한 영역내에 존재하지 않는 줄리아 집합들을 나타내왔다. 본 연구에서는 항등식 $\exp\Bigg(-\alpha\frac{\zeta+z}{\zeta-z}\Bigg)-1=0$ 의 Newton form 이 단위 원상에 무한히 많은 수렴점을 갖고 있으며 각 줄리아 집합이 유한 영역내에 존재한다는 것을 증명한다. 그리고, 각 줄리아 집합에 바탕을 둔 3차원 프랙탈 물체의 렌더링 결과들을 보여준다.
