The influence of weak external noise on the dynamics of the logistic map and the driven double-well oscillator which undergo period-doubling bifurcations has been studied for both case of white and colored noise in parameter range where the transition from a periodic solution to a chaotic one occurs. The effects of noise on the dynamics of the systems are analyzed from the standpoint of the effects on the attractors and the maximal characteristic Lyapunov exponent. The noise-induced gap in the cascade bifurcation sequence and the scaling behavior of the characteristic Lyapunov exponent in the vicinity of the transition have been investigated through power spectrum analyses of the solutions. It is seen from the bifurcation diagram that the noise destroys all the miscellaneous structures observed in the absence of noise, such as periodic windows between chaotic band. Also the injection of noise leads to a change in the sign of Lyapunov exponent from negative which is characteristics of periodic solutions in the absence of noise to the positive which is characteristics of the chaos. This is so called noise-induced early chaos.
The logistic map (discrete system) and the driven double-well oscillator (continuous one) show the same universal scaling behavior in the response to the external noise. The reason is because both systems follow the same route to chaos. We confirm that the external noise plays an important role as a disordering field which produces noise-induced chaos and observe that the effects of it can be described by two parameters, one is the noise intensity and the other the noise correlation time in the case of colored noise.
주기배가 분기 (period-doubling bifurcation)를 통해 카오스 (chaos)로 전이되는 비선형계의 동력학적인 양상에 외부 노이즈 (noise)가 미치는 영향을 조사하기 위해 일차원 논리 사상 (logistic map)과 더핑 방정식 (Duffing equation)에, 시간에 대해 델타함수형의 상관관계를 가지는 white noise와 지수함수형의 상관관계를 가지는 colored noise를 첨가하여 분기 과정을 따라 가면서 동력학적인 양상의 변화를 관찰하였다. 여러가지 동력학적인 양상 중, 비선형계의 어트랙터 (attractor)와 그에 해당하는 power spectrum, 운동의 특징을 나타내는 Lyapunov 지수 에 노이즈가 미치는 영향을 조사하였다.
노이즈가 들어 갔을때 분기도표 (bifurcation diagram)에서 세밀한 구조들이 사라지고, 분기가 일어나는 조절 매개변수 (control parameter) 값이 불확실해지며, 주기적인 해가 일정한 값이 아니라 노이즈의 세기에 비례하는 크기의 영역에 분포되는 것을 관찰할 수 있었다. 또한 해의 power spectrum 에서 노이즈가 존재하지 않았을 때 관찰되던 subharmonics peaks 가 노이즈에 묻혀 관찰되지 않았다. 이는 노이즈가 있을 때 주기배가 분기가 유한한 수에서 멈추어 지고 노이즈가 없을 때보다, 빨리 카오스로 전이되는 사실을 설명해 준다. 이것은 Lyapunov 지수를 구해 보았을 때의 결과와도 일치하였다.
카오스로의 전이점 근처에서 Lyapunov 지수가 노이즈의 세기에 대해 축척현상을 보인다는 사실을 확인할 수 있었다. Lyapunov 지수의 축척 양상은 논리 사상과 더핑 방정식에서 보편적인 것을 확인하였는데, 이는 두 비선형계가 같은 주기배가 분기를 통해 카오스로 전이되기 때문이다. 두 종류의 노이즈에서 모두, 노이즈의 세기는 주기적인 운동에서 카오스로의 전이를 유도하는 효과를 나타내는 매개변수의 역할을 한다. 반면 colored noise 에서 상관시간 ( correlation time )의 효과는 노이즈 세기의 효과와는 상반되는 경향을 보이는데, 같은 세기의 노이즈에서 상관시간이 긴 것일수록 더 많은 분기를 보여 주어 카오스로의 전이가 늦추어 지는 것을 알 수 있었다. 이는 비선형계의 동력학에 미치는 노이즈의 영향을 기술하기 위한 매개변수로서 노이즈의 세기와 상관시간이 이용될 수 있고, 그 두 매개변수는 서로 상반되는 효과를 나타내는 것을 보여 준다.
