In this thesis, we are concerned with Toeplitz operators acting on the Bergman spaces of the unit ball in the n-dimensional complex space $C^n$. The main purpose of the thesis is on the size estimate of the Toeplitz operators. More precisely, we mainly study the relationship between operator theoretic properties of Toeplitz operators and function theoretic properties of their symbols.
In Chapter 1, we consider the commuting problem for Toeplitz operators acting on the $L^2$-Bergman space. In the one dimensional case, Axler and Cuckovic has recently showed that two Toeplitz operators with bounded harmonic symbols commute only in the obvious case. In this chapter, we consider the same problem with bounded pluriharmonic symbols on the ball and partially extend the Axler and Cuckovic result to the ball.
In Chapter 2, we consider the characterization problem of compact Toeplitz operators on the $L^2$-Bergman space of a product of balls rather than the ball. In the ball or the polydisk setting, Zheng has recently characterized bounded symbols of compact Toeplitz operators in terms of certain boundary vanishing properties. In this chapter, we use a new argument to extend Zheng's result to general product of balls, and obtain a new characterization and show that a certain restriction in Zheng's characterization is inessential.
In Chapter 3, we introduce a Banach space of holomorphic functions on the ball motivated by the atomic decompositions in the sense of Luecking, and establish its dual and predual spaces. At the same time, we describe these spaces in terms of boundedness, compactness and membership in the Schatten p-classes of certain Toeplitz operators acting on the $L^2$-Bergman space of the ball.
In Chapter 4, we consider a spectral property of Toeplitz operators acting on $L^p$-Bergman space of the ball. In one dimensional setting, Zeng has considered a symbol continuous up to boundary and computed the essential spectrum of the corresponding Toeplitz operator in terms of the boundary value of the symbol. In this chapter, we generalize this result to symbols in $H^∞$ + C on the ball. We prove that the essential spectrum of the Toeplitz operators under consideration is computable in terms of Stone-Cech compactification of B.
본 논문에서는 n차원 복소 공간의 단위 구상에서 정의된 Bergman 공간 위에 작용하는 Toeplitz 작용소들에 관하여 여러 가지 성질들을 조사한다. 그 중에서도 특히 Toeplitz 작용소들이 작용소 이론에서 갖는 여러 성질들과 그것들의 기호들이 함수론적인 이론에서 가지는 성질들 사이의 여러 가지 관계들을 연구한다.
제 1 장에서는 $L^2$-Bergman 공간에 작용하는 Toeplitz 작용소들의 교한 문제를 생각한다. 최근에 Axler와 Cuckovic는 단위 원상에서 유계인 조화함수들을 기호로 갖는 두 개의 Toeplitz 작용소들이 교환하기 위한 필요충분조건을 구했다. 이 장에서는 Axler와 Cuckovic의 결과들을 유계인 pluriharmonic 함수들을 기호로 가지고 단위구상에 부분적으로 확장한다.
제 2 장에서는 단위 구들의 곱으로 된 영역에서 정의된 $L^2$-Bergman 공간 위에서 콤팍트 Toeplitz 작용소의 유계인 기호들을 분류하는 문제를 생각한다. Zheng은 최근에 단위 구상에서 Toeplitz 작용소가 콤팍트 작용소가 되기 위한 하나의 필요 충분조건을 구했다. 이 장에서는 Zheng과 다른 방법을 이용하여 Zheng의 결과을 단위 구들의 곱으로 된 영역으로 확장시키고 동시에 Zheng의 결과에 있는 어떤 제약 조건 없이 거기에 또 하나의 결과를 첨가한다.
제 3 장에서는 Bergman 공간들에 있는 함수들은 원자 분해된다는 Luecking의 결과를 근거로 하여, 단위 구상에서 하나의 함수 공간을 소개하고, 그 공간의 공액공간과 앞 공액공간들을 구한다. 또한 그 공간들을 $L^2$-Bergman 공간에 작용하는 어떤 Toeplitz 작용소들로서 분류한다.
마지막 제 4 장에서는 단위 구상의 $L^p$-Bergman 공간에 작용하는 Toeplitz 작용소들의 진성 스팩트럼을 구하는 문제을 생각한다. 최근에 Zeng은 단의 원의 경계까지 연속인 기호들을 갖는 Toeplitz 작용소의 진성 스팩트럼은 그 기호의 경계값이 됨을 보였다. 이 장에서는 단위 구상의 $H^∞$ + C에서 기호을 갖는 Toeplitz 작용소들의 진성스펙트럼을 구의 Stone-Cech 콤팩트화에 의해 구한다.
