We consider the characterizations of orthogonal polynomials satisfying a differential equation of the form $L_N(y)=∑_{i=0}^Nl_i(x)y^i(x)= λy$.
In 1923, S.Bochner classified all polynomial solutions of the differential equation with N=2. He showed that up to a complex linear change of variable, the only polynomial systems that arise as eigen solutions of the differential equation are Jacobi polynomials, Laguerre polynomials, hermite polynomials, ${X^n}_{n=0}^∞$, and Bessel polynomials. It is easy to see that the polynomial system ${X^n }_{n=0}^∞$ can not be orthogonal. The orthogonality of Jacobi, Laguerre, Hermite, and Bessel Polynomials are precisely investigated by many authors. They are nowcalled classical orthogonal polynomials. In 1935, W. Hahn proved that the only orthogonal polynomials whose derivatives also form an orthogonal polynomial system are classical orthogonal polynomials. He later extend his result by rooving that if ${P_{n(x)}}_{n=0}^∞$ is an orthogonal polynomial system such that ${P_n^{(r)}}_{n=0}^∞$ is also an orthogonal polynomial system for some integer r ≥ 1, then the polynomial system ${P_{n(x)}}_{n=0}^∞$ must be a classical orthogonal polynomial. Besides Bochner's and Hahn's, there are many other properties common to all of clasical orthogonal polynomials. In chapter two, we give simple proofs of known characterization theorems and new characterization of classical orthogonal polynomials which improves Hahn's theorem.
For N>2, H.L.Krall found a remarkable theorem characterizing all differential equations of order N, which have orthogonal polynomials as solutions. In chapter three, we give new and simple proof of Krall's. In chapter four, as an application of this characterization, we ger new characterizatio s of classical orthogonal polynomials which generalize Bochner's and Hahn's theorems.
1929년에 Bochner는 변수의 복소선형변환을 감안할때, 2차 미분방정식을 만족하는 다항식은 Jacobi다항식, Laguerre다항식, Hermitte다항식, ${X^n}_{n=0}^∞$ , 그리고 Bessel다항식의 다석가지 뿐이라는 사실을 보였다. 여기서 ${X^n}_{n=0}^∞$ 은 직교성을 가질 수 없다는 것이 여러사람들에 의해 밝혀졌다. 그래서 이 네가지 다항식을 고전 직교 다항식이라 부르게 되었다.
1935년에 Hahn은 ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ 과 ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ 이 모두 직교성을 가질때 고전 직교 다항식이라는 것을 증명하였고 또한 이것의 확장된 결과로서 ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ 이 직교 다항식이고 1이상의 정수 r에 대해서 {P_n^{(r)}(x)}_{n=0}^∞$ 이 직교다항식이면 ${P_n(x)}_{n=0}^∞$ 은 고전직교다항식이라는 사실을 보였다. Bochner와 Hahn외에 고전직교다항식이 가지는 여러가지 공통된 성질들이 있는데 우리는 2장에서 이것등의 간단한 증명과 함께 고전직교다항식의 새로운 판별법을 제시한다. 1938년에 Krall은 2보다 큰 임의의 정수N에 대하여 N차의 미분방정식을 만족하는 직교다항식의 판별법을 발견했다. 우리는 논문의 3장에서 Krall의 정리를 보다 쉽게 증명하고 이것과 동치인 새로운 판별법들을 제시한다. 그리고 마지막 4장에서는 3장에서 발견한 판별법들을 이용해서 앞에서 말한 Bochner와 Hahn의 결과를 확장하는 고전직교다항식의 새로운 판별법을 증명한다
