The multiplication-by-m map on an elliptic curve E can be expressed by the division polynomials $\psi_n$, $\omega_n$ and $\phi_n$. The polynomials satisfy the relation $\psi_{nm}(M) =\psi_n(M)^{m^2}\psi_m([n])M)$. Based on this fact, we can show that if E is supersungular over $F_p$, then $\psi_p\equiv=-1$ mod p. Furthermore, p $\equiv$ 3 mod 4 or $\Bigg(\frac{\triangle}{p})\Bigg)=-1$$. And we apply this fact to test whether a prime p is supersingular or not over E.
타원 곡선 E상의 m 배 함수는 division 다항식 $\psi_n,\; \omega_n,\; \phi_n$에 의해 나타내질 수 있다. 그 다항식들은 $\psi_{nm}(M) = \psi_n(M)^{m^2} \psi([n]M)$을 만족하는데 이것을 이용하면 $F_p$에서 정의된 타원 곡선 E가 supersingular 일때 $\psi_p \equiv -1 \bmod p$ 임을 알 수 있다. 또한 이때 $p \equiv 3 \bmod 4$ 이거나 $(\frac{\Delta}{p}) = -1$ 임도 보일 수 있다. 마지막으로 이 사실들을 어떤 소수 p가 E 위에서 supersingular인지 아닌지를 판별하는데 응용해 보았다.
