This work considers Monte Carlo method for approximating the integral of any four times differentiable function f over a unit interval [0,1].
Whereas earlier Monte Carlo schemes have yielded on $n^{-1}$, $n^{-3}$, $n^{-4}$$, or $n^{-5}$ convergence rate for the expected square error, this thesis shows that by allowing nonlinear operations on the random samples $\{(U_i,f(U_i))\}^n_{i=1}$ much more rapid convergence can be achieved.
Specifically, the new scheme attains the rate of convergence $n^{-8}$ by the Simpson rule based on an ordered random sample.
본 논문에서는, 단위 구간상에서 임의로 주어진 네 번 미분가능한 함수의 적분을 근사하는데 있어서 Monte Carlo 방법의 적용을 다루고 있다.
이미 알려진 기존의 Monte Carlo 방법들이 $n^{-1}$, $n^{-3}$, $n^{-4}$ 또는 $n^{-5}$ 의 수렴률을 갖는 반면, 이 논문에서 소개된 방법은 $n^{-8}$의 수렴률을 갖는다. Ordered sample 을 선택하고, 각 구간에서 Simpson 방법을 사용한 후 전체 단위 구간에서 이들을 합성한다.
여섯 개의 임의의 함수들에 대해서, 기존의 Monte Carlo 방법들과 비교하여 결론을 확인하고 그래프를 통해 이를 보여준다.
