Collocation type methods are studied for the numerical solution of the weakly singular Volterra integral equation of the second kind which has nonsmooth solution near zero. The solution is approximated near zero by a linear combination of powers of $t^{\frac{1}{2}}$, and away from zero by a cubic spline in the continuity class $C^1$.
The method shows that the order of convergence depends on the behavior of the solution near zero and presents the exact order of convergence. Some numerical examples are included.
영 근방에서 충분히 매끄럽지 않은 해를 갖는 2차 Volterra 적분방정식의 근사해를 구하기 위하여 Riele 은, 특이점 영 근방에서는 $\frac{m}{2}$차 이하의 $\frac{1}{2}$ 승의 비다항식으로 나머지 적분구간에서는 일반적인 다항식을 기저함수로 사용하는 Collocation 방법을 적용하였고, 실험결과는 그 이상이지만 이론상으로는 오차의 수렴속도가 $\frac{1}{2}$ 로 정확한 수렴속도를 구하지 못하였다.
본 논문에서는, 특이점 근방에서는 Riele 과 같은 방법으로, 나머지 적분구간에서는 1차 미분이 연속인 3차 Spline을 기저함수로 사용하는 수정된 Collocation 방법을 새롭게 제시하였고, 오차의 수렴속도도 ($\frac{m}{2}+1$) 로서 특이점 근방에서의 근사함수에 크게 좌우된다는 것을 보였으며 실험을 통해 이를 확인하였다.
