The main purpose of the thesis is to find the distributions of queue size and waiting time of the retrial queue and queues with vacations. These queueing systems have applications to applied communication networks, computer and production systems.
In chapter 2, we consider an M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls. In the case that arriving calls are blocked due to the channel being busy, the outgoing calls are queued in priority group whereas the incoming calls enter the retrial group in order to seek service again after a random amount of time. In this chapter we derive the Laplace-Stieltjes transform of the virtual waiting time and the generating function for the number of retrials of an incoming call. When the arrival rate of outgoing calls is zero, it is shown that our result is consistent with the known result for a retrial queueing system with only one type of calls.
In chapter 3, we consider a $G/M^{a,b}/1$ queue with multiple vacation discipline. Calls are served in batches according to the following bulk service rule in which at least 'a' calls are needed to start a service and maximum capacity of the server is 'b' at a time. When the server either finishes a service or returns from a vacation, if he finds less than 'a' calls in the system, he takes a vacation with exponential distribution. When the server either finishes a service or returns from a vacation, if he finds more than 'a' calls in the system, he serves a bulk of maximum of 'b' calls at a time. With the supplementary variable method, we explicitly obtain the queue length probabilities at arrival time points and arbitrary time points simultaneously. The results for our model in the special case of a = b = 1 coincide with known results for G/M/1 queue with multiple vacation obtained by imbedded Markov chain method. As the rate of exponential vacation time tends to infinite, the queue size distribution for queueing system with vacation will approach to that for the queueing system without vacation. We show that the above facts hold for the $G/M^{1,b}/1$ queue.
In chapter 4, we consider a G/M/1 vacation model where the vacation time has k-stages generalized Erlang distribution. By using the methods of the shift operator and supplementary variable, we explicitly obtain the limiting probabilities of the queue length at arrival time points and arbitrary time points simultaneously. Since our model for k = 1 is G/M/1 queue with exponential vacation, it is shown that our results by supplementary variable approach coincide with the corresponding known results obtained by imbedded Markov chain approach.
재시도 대기체계와 휴가시간을 갖는 대기체계는 오늘날에 통신위성과 지상의 수신소와의 통신, 근거리 통신망에서 컴퓨터끼리의 통신, 예약 시스템등에서 많이 사용되어지고 있는 대기체계이다.
본 학위 논문에서는 재시도와 휴가시간을 갖는 대기체계에 관하여 호(call)의 수와 머무르는 시간의 확률분포를 해석적인 해로 완전하게 구하고 그와 관련된 성능분석을 한다.
제 2장에서는 두가지 형태의 호를 갖는 재시도 대기체계 모델을 생각한다. 어떤 호들이 시스템에 도착했을때 서버가 idle하면 이 호는 즉시 서비스를 받게되고 그리고 나서 시스템을 떠나게된다. 만약 서버가 busy하면 우선 순위를 가지는 호는 우선 군(priority group)에 들어가고 그렇지 못한 호들은 재시도 군(retrial group)에 들어간다. 우선 군에 있는 호들은 하나의 대기열을 형성해서 재시도 군에 있는 호들보다 우선순위를 가지고 서비스를 받게된다. 재시도 군에 있는 호들은 각각이 독립적으로 random한 시간후에 재시도를 하고 재시도를 하였을때 서버가 busy하면 이 호는 재시도 군으로 다시 되돌아 가게되고 그렇지 않고 서버가 idle하면 즉시 서비스를 받게 된다. 기존에 알려진 결과인 두 군안에 있는 호들의 수에 대한 확률분포를 이용하여 재시도 군에 있는 하나의 호가 서비스를 받기 위해서 재시도 군 안에서 머무르는 시간의 Laplace변환을 구하고, 또한 서비스를 받게 될때까지 재시도 군안에서의 재시도한 횟수의 확률생성함수(probability generating function)를 구한다.
제 3장에서는 집단(batch)으로 서비스를 하고 휴가시간을 갖는 대기체계 모델을 생각한다. 이 모델에서는 서버가 하나의 서비스를 마쳤을때 새로운 서비스를 시작하기 위해서는 적어도 대기열에 'a'이상의 호가 있어야 하고 한번의 서비스에는 최대로 'b'개 까지의 호를 취할수 있다. 그렇지 않고 'a'보다 적은 수의 호들이 있을때에는 서버는 휴가시간을 떠난다. 서버가 휴가를 마쳤을때 대기열에 'a'보다 적은 수의 호가 있으면 서버는 새로운 휴가시간을 취한다. 이러한 방법으로 적어도 'a'이상의 호가 있을때까지 계속해서 휴가시간을 가진다. 서버가 휴가에서 돌아오거나 또는 하나의 서비스를 마쳤을때 대기열에 'a'에서 'b'개 사이의 호가 있으면 대기열에 있는 모든 호들은 집단으로 동시에 하나의 서비스를 시작하고 'b'개이상의 호가 있을때에는 단지 'b'개의 호만 가지고 서비스를 시작한다. 제 3장에서는 위의 모델에 대하여 도착시각과 임의의 시각에서의 대기열에 있는 호의 수에 대한 확률들을 구체적으로 구한다. 특히 a=b=1 인 휴가시간을 갖는 대기체계와 a = 1이고 휴가시간을 갖지않는 대기체계에 대해서 기존에 알려진 결과와 이 장에서의 결과가 일치함을 보인다.
제 4장에서는 휴가시간이 일반화된 Erlang분포를 가지는 G/M/1 대기체계 모델을 생각한다. 휴가시간을 갖는 G/M/1 형태의 대기체계는 지금까지는 휴가시간의 분포함수를 항상 지수함수로 가정하였지만 이 장에서는 더 일반화된 모델을 생각한다. 보조변수를 사용하여 마르코프(Markov) 확률과정을 만들어 Kolmogorov의 미분방정식인 비 동차 차분방정식(non-homogeneous difference equation)을 유도하고 shift operator를 이용하여 이 방정식을 풀음으로서 도착시각과 임의의 시각에서의 대기열에 있는 호의 수에 대한 확률들을 구한다. 또한 특별한 경우로 지수분포의 휴가시간을 가지는 모델에 대해서 기존에 알려진 결과와 이 장에서의 결과가 일치함을 보인다.
