We examine quantum conserved spin 3 current to study charge conservation law in simply-laced $D^{(1)}_4$ theory. Non simply-laced $A^{(2)}_3$ theory has Landau singularity, where it is known to occur a breakdown of a 'naive' charge conservation due to this anomalous threshold singularity. $D^{(1)}_4$ theory has the same structure of anomalous threshold singularity as the non simply-laced $A^{(2)}_3$ theory, but different 3-point couplings.
Using massless perturbation method, we construct quantum conserved spin 3 current. Remarkably enough, in spite of 3 is one of the exponents of $D^{(1)}_4$ theory quantum conserved spin 3 current vanishes identically. We show how we can understand this from the charge-mass renormalization as well as S-matrices' bootstrap.
We construct the exact S-matrices for the non simply-laced $D^{(3)}_4$ using bootstrap program and present explicit verification of conjectured 'duality' between $D^{(3)}_4$ and $G^{(1)}_2$ affine Toda theory up to $\beta^4$ order. We compare the residue of the pole of S-matrix with standard perturbation theory, using β dependent renormalized masses.
(1+1) 차원의 한 모델인 딸린토다장론은 상사장론에 특별한 섭동을 가한 경우에 해당하며, 상사대칭성은 깨어졌으나 무한개의 보존량을 지닌 적분 가능한 모델이다. 이 보존량을 주는 보존 스핀들은 리 대수의 지수(엑스포넌트)에 해당하고, 콕스터 수로 모드를 취한 것이 반복된다고 알려져 있다.
$D_4^{(1)}$이론의 지수들은 1, 3, 3, 5 이다. 스핀 3인 전류를 질량이 없는 섭동방법에 의해 구체적으로 조사해 보았더니 $J^{(3)}=0$이었다. 이 결과는 위의 일반적 사실과 위배되지만, 질량-재규격화 관계를 이용하여 살펴보면 단순히 연결된(simply-laced) 리 대수에 의존하는 딸린토다장론에서는 질량의 양자적 보정량과 질량의 비가 그 질량에 관계없이 모든 고리 순서까지 일정하다는 중요한 결론을 이끌어 낼 수 있었다.
(1+1) 차원에서의 적분 가능성은 unitarity, crossing symmetry와 analyticity를 이용한 bootstrap program으로 정확한 산란행렬을 구할 수 있게 한다.
Non simply-laced $D_4^{(3)}$ 토다 이론의 산란행렬들을 구하였고, 이들 이론의 양자적 구조는 결합상수 β에 의해 지배되는데, 여기서 공통된 함수 $B(\beta)=\frac{1}{2\pi}\frac{\beta^2}{1+\beta^2/4\pi}$ 는 정의되는 리 대수에 관계없이 유일하다는 것이 밝혀졌다. 또한 $D_4^{(3)}$ 이론의 재규격화된 콕스터 수는 H=12-3B 인데 이는 B 함수의 dual mapping B $\rightarrow$ 2-B에서 얻어진다는 걸 보였다.
$H=12-3B\rightarrow H=12-3(2-B)=6+3B$.
$G_2^{(1)}$의 재규격화된 콕스터 수는 H = 6 + 3B 인데 앞의 3은 근의 길이에 대한 normalization에 의존할 뿐이다. $D_4^{(3)}$의 콕스터 수는 4인데, 재규격화된 콕스터 수는 3x(4-B)이고 12는 $E_6^{(1)}$ 이론의 잔재이다. $E_6^{(1)}$ Dynkin diagram을 세번 꼬면(twist) $D_4^{(3)}$가 된다. 정확한 산란행렬을 비교해보면 $D_4^{(3)}$ 이론의 dual 이론은 $G_2^{(1)}$이라는 것을 알 수 있다. 즉 한 이론의 강한 coupling 한계가 다른 이론의 약한 coupling 한계에 해당한다. 우리는 이런 이론들을 4차원에서도 적용할 수 있기를 기대한다.
