Koornwinder's generalized jacobi polynomials $\{P_n^{\alpha,\beta,M,N}\}_{n=0}^\infty$ are orthogonal on the interval [-1, 1] with respect to the weight function $(1-x)^\alpha(1+x)^\beta+M\delta(x+1)+N\delta(x-1),\alpha,\beta>-1,M,N\ge0$
We show that these polynomials satify a Bochner-Krall's differential equation.
$\displaystyle\sum^{2n}_{i=0}\displaystyle\sum^i_{j=0}l_{ij}x^jy^{(i)}(x)=\lambda_my(x)$, n≥1
for some special nonnegative integer values of α and β.
In particular, $\{P_n^{\alpha,\alpha,M,M}\}^\infty_{n=0}$ satisfy a differential equation of the form
$M\displaystyle\sum^{2\alpha+4}_{i=0}a_i(x)y^{(i)}(x)+(x^2-1)y"+(2\alpha+2)xy'-n(n+2\alpha+1)y=0$
where $\{a_i(x)\}^{2\alpha+4}_{i=0}$ are polynomials with degree i (i≥2) and $\{a_i(x)\}^{2\alpha+4}_{i=0}$ are independent of the degree n for nonnegative integer values of α and M＞0.
Koornwinder의 일반화 된 Jacobi 다항식은 가중치 함수 $(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}+M\delta(x+1)+N\delta(x-1),\alpha,\beta>-1,M,N\ge0$ 에 대하여 구간 [-1, 1] 에서 서로 직교한다. 특정한 값 α,β 에 대하여 이 다항식은 다음과 같은 Bochner-Krall의 미분방정식을 만족함을 보였다.
$\displaystyle\sum^{2n}_{i=1}\displaystyle\sum^i_{j=0}l_{ij}x^jy^{(i)}(x)=\lambda_my(x)$, n≥1
특히, 정수 $\alpha\ge0$ 에 대하여 α=β, M=N＞O 일 때 이 다항식은 다음과 같은 계수 2α+4의 미분방정식을 만족함을 보였다.
$M\displaystyle\sum^{2\alpha+4}_{i=0}a_i(x)y^{(i)}(x)+(x^2-1)y"+(2\alpha+2)xy'- n(n+2\alpha+1)y=0$
여기서 $\{a_i(x)\}^{2\alpha+4}_{i=0}$ 은 차수 i 의 다항식이고, $\{a_i(x)\}^{2\alpha+4}_{i=1}$은 n에 의존하지 않는다.
