This thesis mainly consists of the study of line bundles on algebraic surfaces constructed via $\BbbQ$ -Gorenstein smoothing. Recently, $\BbbQ$ -Gorenstein smoothing is used to construct new algebraic surfaces, however, it is relatively unknown how the geometric information varies along the smoothing. Hacking's weighted blow up technique, which has been used to construct exceptional vector bundles on a surface from its singular degenerations, is applied to study the line bundles on the surfaces obtained by $\BbbQ$ -Gorenstein smoothing. The main idea is to lift information about divisors to a (possibly non-Cartier) divisors on the central fiber of the smoothing. It turns out that numerical invariants of divisors, such as holomorphic Euler characteristics, can be understood via information from the central fiber. Also, the cohomological properties of the divisors can be studied with the same method, even if it is less efficient in general. In some nice and simple examples of $\BbbQ$ -Gorenstein smoothings, cohomologies of divisors are efficiently controlled under this method. As an example, cohomological properties of divisors in Dolgachev surfaces of type (2,3) will be studied in details. This leads to the presentation of semiorthogonal decompositions of the derived category into exceptional collection of 12 line bundles and a phantom category. Using the same method, we study the nonminimal Enriques surfaces, and establish semiorthogonal decompositions of the derived categories into 13 line bundles and quasi-phantom categories.
이 논문에서는 해킹이 예외적 벡터 다발을 건설하기 위해 사용한 가중 부풀리기 방법을 응용하여, 유리-고렌스타인 매끄러움 기법을 이용해 건설되는 대수 곡면 위의 선 다발에 대하여 논의한다. 핵심 아이디어는 가중 부풀리기를 통해 변형 공간을 수정하여 변형 공간에서의 유리-카르티에 인자를 부풀려진 공간에서 카르티에 인자로 이해할 수 있게 함으로써, 변형 전/후 공간의 인자들을 손쉽게 비교할 수 있도록 만드는 것이다. 이와 같은 방법을 통해 인자의 주요한 불변량들이 변형에 의해 어떻게 달라지는지 비교할 수 있게 된다. 이를 응용하여 (2,3)형 돌가체프 곡면 위에 존재하는 인자들에 대해 연구하였으며, 해당 곡면의 유도 범주가 12개의 선 다발과 환영범주로 이루어진 준직교분해를 갖는다는 사실을 증명하였다. 또한 같은 방법을 이용하여 한 점에서 부풀려진 엔리퀘스 곡면의 유도 범주를 열 세개의 선 다발과 준환영범주로 준직교분해하는 예를 제시하였다.
