Every tame knot or link can be embeded into a finite union of half-planes which have the z-axis as their common boundary, so that each half plane intersects the knot or link in a simple arc. Such an embedding is called an arc presentation and the minimal number of half-planes among all arc presentations is called the arc index of the knot or link. Moreover, we introduce an application of the arc index to the mosaic knots.
Mutation is an operation on a knot diagram which replaces a two string tangle with its image under a $180 ^\circ C$ rotation. Mutation may change the knot types. For the alternating knots or links, mutations do not change the arc index. For nonalternating knots and links, some of the semi-alternating knots or links have the same property.
We mainly focus on the problem of mutation invariance of the arc index for non alternating knots which are not semi-alternating. We found families of infinitely many mutant pairs/triples of Montesinos knots with the same arc index.
한 직선으로부터 뻗어나온 유한 개의 반평면 안에 주어진 매듭을 각 평면과의 교집합이 하나의 단순호가 되게끔 매장 시키는 방법을 매듭의 호표현이라고 하며, 이 때 쓰인 반평면의 개수 중 가장 작은 값을 그 매듭의 호지수라고 한다. 모든 매듭은 호표현을 가지고 호지수는 매듭의 불변량이 된다.
돌연변이 변환은 매듭속에 임의의 실타래를 x,y,z축 중 어느 하나를 축으로 180도 회전시켜 얻어낸 실타 래로바꾸는작업을말하는데,이과정을통해주어진매듭과다른매듭을얻어낼수있다. 교대매듭의경우 호지수는 돌연변이 변환에 대해 변화되지 않고 비교대매듭의 경우에는 준교대매듭중 일부만이 같은 성질을 갖는 것이 알려져 있다.
본 학위논문에서는 비 준교대 매듭의 호지수의 돌연변이 불변량에 관해 다루었다. 우리는 몬테시노스 매듭중같은호지수를갖는무수히많은비준교대돌연변이쌍들을찾았다. 또한호지수의성질을이용한 모자이크 매듭 문제들의 해결된 결과를 기록했다.
