Statistical physics is a method of describing our many-body world in terms of probability, and network science is part of it. One advantage network science has over the conventional statistical mechanics is that it deals with quenched disorder system relatively easily. This thesis, with the help of scaling analysis, focuses on a nonequilibrium process called generalized epidemic process (GEP), which is a epidemic spreading model with synergy effect, on several structures with different types of quenched disorder: Poisson random, modular and scale-free networks.
Chapter 2 discusses GEP on mean-field level, which means it is implemented on Poisson random network. A self-contained argument of the universality classes of GEP is proposed analytically and veri- fied numerically by extended-finite-size scaling theory. The results show that GEP with large cooperative effect exhibits a discontinuous phase transition at percolation threshold, while small cooperative effect results in continuous phase transition that belongs to the universality class of bond-percolation.
Chapter 3 discusses the universality class of the cooperative process as modular structure is intro- duced by a rewiring parameter. Community structure is expected to change the critical properties of GEP since cooperative effect is amplified in clustered network. However, by mapping modular network to clique-based random network, we analytically show that cooperation only affects local infection and is helpless in infecting other neighboring communities. Therefore, modularity doesn’t change the universal- ity class of GEP but it only shifts the epidemic threshold and tricritical point, which are also numerically verified through finite-size scaling forms and bimodality coefficient respectively.
Chapter 4 focuses on the role of hubs in GEP since hubs influence many processes in nontrivial way as in percolation. Therefore, GEP is implemented on uncorrelated scale-free network with varying degree exponent, $\alpha$, and it is analytically and numerically discussed with the help of self-consistency equation and scaling analysis respectively. The results show that the process exhibits mixed-order transition regardless of the heterogeneity of the structure, owing to the locally tree-likeness of the structure. In addition, the result indicate that as long as cooperative effect is not null, the outbreak size of process always converges to a nonzero value as infection probability goes to 0 on structures with dominant hubs, 2 < $\alpha$ < 3.
통계물리학은 거시세계를 미시세계의 확률로 표현하고 해석하는 학문이다. 네트워크 과학은 통계물리학 일부로서 기존 통계물리학과 동일하게 미시상태들의 분포로 표현되지만, 담금질 무질서가 있는 시스템을 상대적으로 다루기 쉽다. 본 논문은 체계적인 눈금집기 분석을 사용하여 비평형과정의 한 예인 일반화된 전염병 퍼짐과정을 복잡계 그물망으로 표현된 다양한 형태의 담금질 무질서 구조에서 논의한다.
첫 번째로 논의하는 구조는 무작위 그물망이다. 이 그물망 위에서 일반화된 전염병 퍼짐과정의 일 반적인 특징들, 특히 보평성 분류를 해석과 수치적으로 다룬다. 구조에 짧은 고리가 없다는 가정하에 자체 일관식으로 해석적 답을 구하고 확장된 유한 크기 축척이론으로 수치적으로 확인한다. 이를 통하여 일반화된 전염병 퍼짐과정은 협력 크기에 따라 스미기 문턱값에서 일차 또는 이차상전이가 나타나고 이차상전일 경우 일반화된 전염병 퍼짐과정이 스미기 보편성 부류와 동일함을 알 수 있다. 이는 스미기가 일어난 이후에만 일반화된 전염병 퍼짐과정의 협력이 효과가 있음을 암시한다.
두 번째로 논의하는 구조는 집단이 존재하는 모듈화된 그물망이다. 협력의 영향은 집단에서 더 강하게 나타나기에 모듈화된 구조에서 일반화된 전염병 퍼짐과정의 보편성 분류가 스므기의 보편성 분류로부터 벗어날거라 예상했다. 그러나 자체 일관식을 집단내의 퍼짐과 집단외의 퍼짐으로 분류하여 해석적으로 풀고 수치적으로는 통계적 지시계와 감염된 숫자들의 눈금잡기 분석으로 확인한 결과 집단이 보편성 분류에 영향 을 주지 못함이 나타난다. 이는 협력이 감염병이 속해 있는 집단에만 영향을 주고 집단간의 감염은 오로지 일차 감염확률로 결정되기 때문이다. 이로써 전염병 문턱값만이 집단 구조로 인해 변하고 보편성 분류는 영향을 받지 않음을 보여준다.
마지막으로 논의하는 구조는 불균질이 두드러지게 나타난 척도 없는 그물망이다. 척도 없는 그물망 은 멱함수 지수 $\alpha$로 표현되며 자연에서 보편적으로 존재하는 구조이자 구조로서 임계 성질들에 적지 않은 영향을 준다. $\alpha$로 표현된 뷸균질이일반화된 전염병 퍼짐과정에 어떠한 영향을 주는지 해석적과 수치적으 로분석하며멱함수지수와상관없이섞인상전이가항상존재함을보인다. 또한2< $alpha$ <3구조에서는 감염확률이 0으로 수렴하는 영역에서조차, 협력이 있을 경우, 전염병 발생의 크기가 0 아닌 유한한 값에서 존재한다.
