The commuting involution graph of a special linear group has been determined when the dimension is low and the base field is finite. But the general structure of the graph of the group based on arbitrary field and dimension has not been classified. As for general linear groups, which is larger than special linear groups, even the restricted classification has not been done. We determine the diameter of the commuting involution graphs of general linear groups over an arbitrary field. By using the properties of an involution matrix, we represent the matrix as the product of block-lower and block-upper triangular matrices, which enables us to prove the diameter. As a corollory of this, we verify the diameter of the graph of certain projective special linear groups over finite field. Further, we prove the diameter of the graph of the set of all involutions in the general linear group over a field of characteristic 2, completing the diameter of the graph of the set of all involutions over an arbitrary field. Finally, as an application, we classify the structure of the commuting involution graphs of four-dimensional general linear groups over finite field.
유한 차원, 유한 체 위에서 정의된 특별 선형군의 가환 대합 그래프는 어느정도 알려져있다. 하지만 임의의 차원, 임의의 체 위에서의 그래프는 아직 다 알려저 있지 않은 상태이다. 일반 선형군의 경우에는 제한된 상황에서의 그래프의 형태 역시 알려 져 있지 않은 상태이다. 이 논문에서는 임의의 체 위에서의 일반 선형 군의 가환 대합 그래프의 지름을 다룬다. 대합 행렬의 성질을 이용하여 우리는 행렬을 블록 상삼각행렬과 블록 하삼각행렬의 곱으로 표현할 수 있고, 이를 통해 그래프의 지름을 측정할 수 있다. 보조정리로서, 우리는 유한 체 위에서의 일부 사영 특별선형군의 그래프의 지름을 구했다. 또한, 이 논문은 표수가 2인 체 위의 선형 군에서 정의되는 모든 대합 원소들의 가환 그래프의 지름을 다루는데, 이는 기존 논문의 내용을 일부 개선한 것으로, 이를 통해 임의의 체 위에서 정의된 선형 군의 모든 대합 원소들로 만들어진 가환 그래프의 모든 지름구조를 파악할 수 있다. 마지막으로, 이 논문은 유한체 위에서 정의된 4차원 선형 군의 가환 대합 그래프의 구조를 다룬다.
