Random matrix theory, first considered by Eugene Wigner, has been applied in various areas of mathematics, physics and engineering. There are two important properties of the random matrix theory, called the universality. The first one is the bulk universality that concerns the behavior of eigenvalues in the bulk of the spectrum. The second one is about the limiting distribution of the largest eigenvalue that is called the edge universality. However, edge universality does not work for all the random matrices, such as the sparse matrices. This paper discusses the limiting distribution of the largest eigenvalue of the sparse matrices. According to early studies, under some suitable conditions, the limiting distributions of the largest eigenvalues of the sparse matrices have a deterministic shift from the Tracy-Widom distribution. We show that there is a correspondence between the theory and practice by making 1500 sample random matrices generated by \MATLAB. In addition, we suggest some reasons why the rescaled largest eigenvalue will not follow the Tracy-Widom distribution, or even the Gaussian distribution when $p \leq N^{-2/3}$.
핵물리학자인 유진 위그너에 의하여 고안된 랜덤 행렬 이론은 수학, 물리, 공학을 비롯한 여러 분야에 응용되고 있다. 랜덤 행렬 이론에서 Wigner ensemble이라고 불리는 행렬들이 만족시키는 두개의 중요한 성질이 있는데 이를 보편성(universality) 라고 부르며 이는 크게 고유값의 스펙트럼 내부에 있는 고유값들의 성질인 bulk universality와 최대 고유값의 분포에 관한 성질인 edge universality로 구분 되어진다. 하지만 일반적인 희소 행렬은 edge universality를 만족시키지 못한다. 최근 연구에 의하면 Wigner 행렬의 재조정된 최대 고유값이 Tracy-Widom 분포로 수렴하는 반면에, 희소 랜덤 행렬의 경우에는 희소한 정도에 관한 적절한 조건 하에서, 재조정된 최대 고유값이 Tracy-Widom 분포로부터 일정한 차이를 갖게 됨이 증명된 바 있다. 이 연구에서는 실제 MATLAB 을 이용하여 1500개의 샘플을 이용한 결과가 이론적인 결과와 비슷함을 확인한다. 또한 주어진 조건을 만족하지 않는 경우에는 Tracy-Widom 분포를 따르지 않을 뿐만 아니라 정규분포 또한 따르지 않게 될 것 라는 근거를 제시한다.
