Physically, the solution of the quasi-linear equation
$\{u_t+f(u)_x=0$, x∈R, t>0
$u(x,0)=u_0(x)$, x∈R$,
has discontinuities after a finite time. We find the maximum time T for which its solution is smooth in R x (0,T) when the initial data are smooth and then show that the solution must have discontinuities after the time T. Next we compute, by using a numerical scheme, the development of its discontinuities. Moreover, we show the uniqueness of its generalized solution when the flux f depends not only on u but on x and t.
물리적으로는 임의의 초기 조건을 가진 아래와 같은 준선형 미분 방정식 어떤 유한 시간 이후엔 불 연속성을 가진다.
$\{u_t+f(u)_x=0$, x∈R, t>0
$u(x,0)=u_o(x)$, x∈R,
그래서 초기 해가 $C^1$ 함수 일때 그 방정식의 해가 $C^1$ 일 최대 시간을 구하고, 그 시간 이후에는 반드시 불 연속점을 가진 해임을 보였다. 다음에는 수치 계산적 방법으로써 그러한 특이점의 전개를 계산 하여 본다.
또한 그러한 해에 대해 초 함수적 의미로써의 해의 유일성을 위의 미분 방정식 내의 f 를 u, x, 그리고 t 에 의존 한다고 가정하여 보였다.
