Recently, the demands for the dynamic response analysis of the large and complex structures have been in-creasing rapidly. Because the finite element (FE) models for those structures contain over several millions of degrees of freedoms (DOFs), considerable computing time would be required. This issue has inspired the needs for model reduction methods, and for decades, various model reduction methods have been developed to re-duce the computational cost with negligible accuracy loss. The model reduction methods can be categorized into two groups, mode based and DOFs based reduction methods. A representative mode based reduction method is component mode synthesis (CMS) method such as Craig-Bampton (CB) and automated multi-level substruc-turing (AMLS) methods, and a representative DOFs based reduction method are Guyan reduction and the im-proved reduced system (IRS) methods.
In model reduction methods, there are three critical issues remaining to be solved. One is how to evaluate the reliability of reduced models. To handle this, various error estimation methods have been proposed. In general, relative eigenvalue errors are used for the reliability evaluation of reduced models. However, basically, it is diffi-cult to estimate relative eigenvalue errors because the exact eigenvalues are unknown. Another is to develop a new reduction method suggesting the approximated eigensolutions more accurately than the previous methods. The other is how to effectively reduce the large FE models containing several millions DOFs without any limita-tions of computer memory and computational costs. In this thesis, these issues will be discussed, and as the solu-tions for those issues, we propose the error estimation methods to guarantee the solution reliability of the re-duced model, a new reduction method to improve the solution accuracy, and an efficient reduction method to improve the reduction efficiency.
For the first issue, we propose the simplified error estimation method developed for the CB method that is the most famous one in the CMS methods. The original formulation is simplified by neglecting insignificant terms, a new error estimator is obtained, and thus computational cost is significantly reduced with negligible accuracy loss. In addition, the contribution of a specific substructure to a relative eigenvalue error can be estimated using the new formulation, in which the estimated relative eigenvalue error is represented by a simple summation of the substructural errors estimated. Therefore, the new formulation can be employed for error control by using the detailed errors estimated for a certain substructure. Through various numerical examples, we verify the ac-curacy and computational efficiency of the new formulation, and demonstrate an error control strategy.
We also propose the error estimation method for the AMLS method. A new, enhanced transformation matrix for the AMLS method is derived from the original transformation matrix by properly considering the contribution of residual substructural modes. The enhanced transformation matrix is an important prerequisite to develop the error estimation method. Adopting the basic concept of the error estimation method developed for the CB method, an error estimation method is developed for the AMLS method.
For the second issue, to improve the solution accuracy, we propose an effective new CMS method based on the concept of the AMLS method. Herein, the original transformation matrix of the AMLS method is enhanced by considering the residual mode effect, and the resulting unknown eigenvalue in the formulation is approximated by employing the idea of the IRS method. Using the newly defined transformation matrix, we develop an en-hanced AMLS method by which original FE models can be more precisely approximated by reduced models, and their solution accuracy is significantly improved. The formulation details of the enhanced AMLS method is presented, and its accuracy and computational cost is investigated through numerical examples.
For the final issue, to improve the reduction efficiency, we develop a robust reduced-order modeling method, named algebraic dynamic condensation, which is based on the IRS method. Using algebraic substructuring, the global mass and stiffness matrices are divided into many small submatrices without considering the physical domain, and substructures and interface boundary are defined in the algebraic perspective. The reduced model is then constructed using three additional procedures: substructural stiffness condensation, interface boundary reduction, and substructural inertial effect condensation. The formulation of the reduced model is simply ex-pressed at a submatrix level without using a transformation matrix that induces huge computational cost. Through various numerical examples, the performance of the proposed method is demonstrated in terms of accuracy and computational cost.
최근 들어, 컴퓨터의 성능 향상과 함께 선박, 자동차 그리고 비행기와 같은 크고 복잡한 구조물의 동적 응답 해석(dynamic response analysis)에 대한 요구가 증가하고 있다. 하지만, 이런 구조물의 유한요소모델(finite element model)은 수백 만개 이상의 자유도(degrees of freedom)를 갖고 있기 때문에, 동적 평가를 위한 고유치 해석(eigenanalysis) 시 상당한 전산 시간이 요구된다. 이러한 전산비효율을 해결하기 위해, 모델축소기법(model reduction method)에 대한 연구필요성이 최근 들어 다시 증가하고 있다. 모델축소기법은 유한요소법(finite element method)의 발전과 더불어 수십 년 동안 연구되어 왔으며, 다물체동역학(multi-body dynamics), 구조안정성모니터링(structural health mon-itoring), 구조최적화설계(structural design optimization), 동적시스템제어(dynamic system control) 그리고 실험동역학(experimental dynamics) 등 다양한 분야에 응용되고 있다.
모델축소기법은 크게 모드 기반(mode based)과 자유도 기반(DOFs based) 축소기법 두 가지 분류로 나눌 수 있다. 대표적인 모드 기반 축소기법으로는 부분구조합성법(component mode synthe-sis)이 있으며 그 중에서도 Craig-Bampton(CB) 기법과 Automated Multi-Level Substructuring (AMLS) 기법이 널리 쓰이고 있다. 부분구조합성법에서는, 전체 유한요소모델을 여러 개의 부분 구조(substructure)로 분할하고, 분할된 부분구조에 각각에 대하여 고유치 해석을 수행한다. 그리고, 부분구조모드(substructural mode) 중, 주요한 모드(dominant mode)들만 선택하여 축소모델(reduced model)을 구성하게 된다. 이처럼, 기존의 큰 유한요소모델은 매우 작은 크기의 축소모델로 효과적으로 근사화 할 수 있다. 자유도 기반 축소기법에서는 전체 자유도를 주자유도(master DOFs)와 부자유도(slave DOFs)로 구분하며, 부자유도가 갖고 있는 관성효과(inertial effect)와 강성(stiffness)을 주자유도에 응축(condensation)하여 축소모델을 계산하게 된다. 대표적인 자유도 기반 축소기법으로는 Guyan 축소기법과 Improved Reduced System (IRS) 축소기법이 있다.
모델축소기법은 수십 년간 여러 연구자에 의해 축소알고리즘의 성능 향상, 즉 해의 정확도 및 전산 효율성이 향상되어 왔으나, 여전히 해결해야 할 중요한 문제들이 남아있다. 그 중 첫 번째는, 정확한 고유치 값(exact eigenvalue)이 없는 경우에 대해, 축소모델에서 계산된 근사 고유치 값(approximated eigenvalue)의 신뢰성을 평가할 수 있는 오차추정기법(error estimation method)을 개발하는 것이다. 일반적으로, 축소모델의 신뢰성 평가는 정확한 고유치 값을 계산하여 근사 고유치 값과의 상대오차(relative eigenvalue error)를 통해 이루어지나, 기본적으로 정확한 고유치 값은 큰 유한요소모델의 경우 전산 효율의 문제 등으로 계산하기 어렵다. 따라서, 정확한 고유치 값을 계산하지 않고도 축소모델의 신뢰성을 평가할 수 있는 오차추정기법이 필요하다. 그리고 다른 문제들로는, 기존에 제시된 축소모델기법보다 더 정확하게 근사 고유치 값을 제시하는 새로운 기법을 개발하는 것과, 컴퓨터 메모리 및 전산 시간에 제약 없이 수백 만개 이상의 자유도를 갖는 대형 유한요소모델을 효율적으로 축소시킬 수 있는 모델축소기법을 개발하는 것이다. 본 연구에서는 앞서 언급한 세가지 문제들을 다루었으며, 그에 대한 해결 방안으로서, 축소모델에서 계산된 근사 고유치 값의 신뢰성 평가를 위한 오차추정기법(error estimation method)과, 근사 고유치 값의 정확도를 높이기 위한 향상된 모델축소기법(enhanced reduction method), 그리고 모델축소효율을 향상시키기 위한 새로운 모델축소기법을 제시하였다.
첫째로, 부분구조합성법 중 가장 잘 알려진 CB 기법에 대하여, 간이화된 오차추정기법(simplified error estimation method)을 제시하였다. 기존의 오차추정기법에서 계산결과에 영향이 없거나 미비한 부분들을 도출 및 생략하여 간소화된 오차추정기법의 식을 제시하였다. 새로운 오차추정 식은 부분구조 별 추정 오차의 합들로 간단하게 표현이 되었으며 기존의 오차추정기법의 정확도를 갖춤과 동시에 전산 효율성을 대폭 향상시켰다. 또한, 새로운 오차추정 식의 특성을 이용하여, 특정 모드에 대한 각 부분구조의 기여도(substructural contribution)를 계산할 수 있었으며, 이를 이용한 오차제어전략(error control strategy)을 제시하였다. 다양한 수치 예제를 통해, 간이화된 오차추정기법에 대한 정확도와 효율성을 확인하였으며, 이를 이용한 오차제어(error control) 결과 또한 제시하였다.
최근에는 여러 부분구조합성법 중에서도, 전체모델을 수많은 부분구조모델로 분할한 후 부분구조모델간의 관계를 고려하여 연속적인 모델축소알고리즘을 구현한 AMLS 기법이 많이 쓰이고 있다. AMLS 기법은 CB 기법을 기초로 개발되었으므로, 동일한 오차추정기법을 AMLS 기법으로 확장할 수 있다. 하지만, 이를 위해서 오차추정을 위한 새로운 변환행렬(transformation matrix)을 도출해야 하며, 기존의 AMLS 기법의 변환행렬에 잔류부분구조모드(residual substructural mode)들의 기여도를 고려하여, AMLS 기법에 대한 새롭고 개선된 변환행렬(enhanced transformation matrix)을 도출하였다. 이 향상된 변환행렬은 오차추정기법을 개발하기 위한 중요한 전제 조건이며, 이 변환행렬을 이용하여, AMLS 기법에 대한 오차추정기법을 개발하였고, 수치 예제를 통해 오차추정기법의 정확성을 확인하였다.
둘째로, 축소모델에서 계산된 근사 고유치 값의 정확도를 개선하기 위해, AMLS 기법의 개념을 기반으로 하여 효과적이고 새로운 기법을 제안하였다. AMLS 기법의 변환행렬은 잔류 부분구조모드의 효과를 고려함으로써 개선되고, 제시된 수식 안의 미지수 고유치 값은 IRS 기법의 개념을 이용하여 근사화하였다. 이렇게 새로 정의된 변환행렬을 이용하여, 향상된 AMLS 기법(enhanced AMLS method)을 제시하였다. 이를 이용하여, 원래의 유한요소모델을 보다 정확한 축소모델로 근사화할 수 있으며, 축소모델로부터 계산된 근사 고유치 값의 정확성 또한 대폭 향상되었다. 향상된 AMLS 기법으로부터 계산된 근사 고유치 값의 정확성 및 전산 효율성을 다양한 수치 예제를 통하여 제시하였다.
마지막으로, 제한된 전산환경 하에서, 대형 유한요소모델을 효율적으로 축소시키기 위한 모델축소기법을 개발하기 위해, IRS 기법을 기반으로 한, 대수학적 동적응축기법(algebraic dynamic condensation method)이라는 매우 효율적이고 정확한 모델축소기법을 제시하였다. 대수학적 부분구조(algebraic substructuring) 기법을 적용하여, 전체 질량행렬(global mass matrix) 및 강성행렬(stiffness matrix)은 물리적 영역을 고려하지 않고 많은 작은 부분행렬들로 분할되고, 부분구조(substructure) 및 경계영역(interface boundary)은 수학적 관점에서 정의되었다. 축소모델은 다음의 세 가지 과정을 통해 계산되었다: (1) 부분구조 강성응축(substructural stiffness condensation), (2) 경계영역축소(interface boundary reduction), (3) 부분구조 관성효과응축(substructural inertial effect condensation). 효율적인 축소과정을 구현하기 위해, 많은 전산 시간 및 메모리를 요구하는 전체변환행렬(global transformation matrix)을 이용하지 않고 축소모델을 계산하였으며, 그 결과 대수학적 동적응축기법의 식은 간단한 부분행렬의 연산으로 표현이 가능하였다. 그리고, 제안된 기법을 다양한 공학문제에 적용하였고, 성능확인을 위해 해의 정확도와 전산 효율 관점에서 IRS 기법의 결과와 비교 분석하였다.
