A version of the converse of the maximum principle due to W. Rudin is as follows: If A is a linear space of continuous functions on the closed unit disc which contains all polynomials and if every function in A satisfies the maximum principle then every function in A is harmonic in the unit disc. The corresponding versions for the n-harmonic functions on the polydisc of $￠^n$, for the pluriharmonic functions and m-harmonic functions on the unit ball of $￠^n$, and for the ordinary harmonic functions on the unit ball of $R^N$ are proved. The series expansions of the corresponding Poission kernels are essential in the proofs.
W. Rudin에 의한 최대치 원리의 역은 다음과 같다. A가 폐단위원반에서 연속된 함수들로 이루어진 선형공간으로 모든 다항식을 포함하고 에 속하는 모든 함수들이 최대치 원리를 만족할때, A에 속하는 모든 함수들은 단위구에서 조화함수이다. 이 정리를 n차 복소공간의 다중 원반에서의 n-조화함수, 단위구에서의 다중조화함수와 m-조화함수, 그리고 n차 실수공간의 단위구의 조화함수에 대해서 증명한다. 이 증명들에서 Poission 핵의 급수전개가 핵심적인 역할을 한다.
