We extend convergence theorems of discrete parameter operator-valued martingale to those of operator-valued martingale indexed by directed set. We prove that:
(1) $L^1$-bounded weak operator-valued martingale indexed by directed set converges in probability to a weak random operator. If it is uniformly integrable on a dense subset of a Hilbert space, then it is closable and converges in $L^1$ mean;
(2) If a strong operator-valued martingale indexd by directed set is $L^1$-bounded and its inverse image of a compact positive symmetric operator is bounded in probability, then it converges in probability to a strong random operator. Furthermore, if it is $L^2$-bounded, then it converges to a strong random operator in $L^2$ mean;
(3) An operator-valued martingale indexed by directed set which is uniformly integrable and satisfies additional condition converges in probability to a bounded random operator.
본 논문에서는 이산적 연산자 치 마아팅게일의 수렴정리를 유향집합을 첨자로 갖는 연산자 치 마아팅게일의 수렴정리로 확장한 것으로 다음 세가지 사실들을 증명하였다.
첫째로 유향집합을 첨자로 갖는 $L^1$유계 약 연산자 치 마아팅게일은 약 확률 연산자로 확률적으로 수렴한다. 만약 그 마아팅게일이 Hilbert 공간의 조밀한 부분집합위에서 일양적분가능이면 이 마아팅게일은 닫혀있고 $L^1$ 평균으로수렴한다.
둘째로 만약 유향집합을 첨자로 갖는 강연산자 치 마아팅게일이 $L^1$ 유계되어있고 대칭이고 긴밀한 양의 연산자에의한 그 마아팅게일의 역상이 확률적으로 유계되어있으면 그 마아팅게일은 한 강확률 연산자로 확률적으로 수렴한다. 더우기 $L^2$ 유계이면 이 마아팅게일은 $L^2$ 평균으로 수렴한다.
세째로 유향집합을 첨자로 갖는 연산자 치 마아팅게일이 일양적분가능이고 다른 부가적인 조건을 만족하면 한 유계인 확률 연산자로 확률적으로 수렴한다.
