Every people have their own unique fingerprints (epidermal ridges) and this gives the reason why the fingerprints could have been used as a means of personal identification for more than two thousand years. Since fingerprints do not change its shape in life, they have received substantial interests in the forensic science. There is no doubt that fingerprints have been widely studied scientifically in various fields. From the mathematical point of view, it is suggested that the fingerprint patterns are developed as the result of a buckling instability in the basal cell layer of the fetal epidermis. In order to analyze the general shape and pattern type of the fingerprints, it is essential to construct an appropriate mathematical model first. In the beginning of this thesis, we investigate the nonlinear version of the von Karman equations as a two dimensional mathematical modeling for the fingerprint formation. Then we see that the buckling process is governed by the compressive stress in the basal layer, not the curvature of the epidermal skin surface. The direction of epidermal ridges will be perpendicular to the direction of the greatest compressive stress. In the second half, based on the theory of elastostatics, we investigate partial differential equations as a three dimensional mathematical modeling for the fingerprint formation. We regard a finger-shaped shell as a special case of a bending plate with certain kinematic and mechanical assumptions. With the Reissner-Mindlin plate theory, we examine a framework for the adequate boundary-value problem.
지문은 신원 확인 수단으로 2000년이 넘게 이용되어 왔다. 지문은 최근 들어서는 결제 수단 및 보안 장치로도 다양하게 활용되고 있고, 그 활용의 폭은 앞으로 더욱 넓어질 전망이다. 따라서 지문은 많은 과학자들에게 아주 큰 연구의 대상이다. 본 학위 논문에서는, 지문을 수학적인 시각으로 해석하여, 지문 형성에 관한 2차원과 3차원 수학적 모델을 제시한다.
지문은 거의 평행한 여러 등마루들 형태를 띠고 있다. 임신 10주차쯤 되었을 때 태아의 피부는 가장 바깥쪽에 상면표피층, 그리고 점차 안쪽으로 표피중간층, 표피기저층, 진피층으로 이루어져 있다. 이 때, 표피기저층은 대단히 탄력성이 높은 조직으로 이루어져 있고, 각 피부 층들의 서로 다른 성장 속도, 팽창되었던 피부의 회귀, 그리고 손톱이나 손금들의 피부 확장 방해 등은 표피기저층에 압축력을 발생시킨다. 이러한 압축력은 표피기저층의 휨 불안정성(buckling instability)를 일으키게 되고, 이로 인해 발생한 주름이 지문이 된다.
지문의 휨 불안정성을 수학적으로 해석하기 위해 본 학위 논문에서는 총 탄성 에너지 범함수(total elastic energy functional)를 유도한다. 그리고 이 에너지 범함수가 최소의 값을 갖는 방향으로 휨 불안정성이 일어나기 때문에, 범함수의 도함수를 0으로 놓아 두 개의 의미 있는 방정식을 이끌어낸다. 이 두 방정식은 폰 카르만 방정식(von Karman equation)의 비선형 버전이며, 본 학위 논문에서는 이 방정식을 지문의 휨 불안정성을 묘사하는 2차원 수학적 모델로 제시한다.
또한 본 학위 논문에서는 폰 카르만 방정식을 분석하여 휨 불안정성의 작용이 곡률이 아닌 압축력의 지배적인 영향을 받는다는 주장을 제안한다. 그리고 그로 인해 지문이 피부에 작용하는 압축력 중 가장 큰 압축력의 방향에 수직한 방향으로 형성된다고 분석을 내린다.
한편, 본 학위 논문에서는 태아 시절 형성되는 지문의 형태가 손가락의 위상학적 모양에 큰 영향을 받을 것이라는 생각에 착안하여 손가락 끝부분 모양의 껍질(shell)에서 피부의 위치 변위를 알 수 있는 편미분 방정식을 유도한다. 이 때, 본 논문에서는 껍질을 몇 가지 가정과 운동학적 요소가 포함된 구부러진 판(plate)으로 간주한다. 판의 전단력(shear stress)과 전단변형(shear strain)을 모두 고려하는 레이즈너-민들린(Reissner-Mindlin)의 판 이론을 이용하여 경계값 문제(boundary-value problem)를 구성하고 이것을 피부의 위치 변위를 계산해 낼 수 있는 3차원 수학적 모델로 제시한다.
