One of main problems in algebraic geometry is to construct moduli spaces that parameterize certain algebraic objects. And Geometric Invariant Theory (GIT) is one of the oldest approaches to moduli problems. For moduli spaces to have nice properties, one usually has to discard certain `unstable' objects. The machinery of GIT gives powerful general methods in turning the collection of stable objects into a projective moduli space. However, the definition of stability it uses can be hard to check, as it involves looking at all degenerations of a given object. Thus, because of its generality, it leaves task of identifying which objects are stable precisely.
For the moduli space of curves one can include any irreducible curve which has at worst ordinary double point singularities, but it remains unclear what happens in higher dimensions. In this thesis, we study the GIT stability and singularities on certain algebraic surfaces.
Firstly, we consider hypersurface sections of quadric threefolds. Let $S$ be a complete intersection of a smooth quadric threefold and a hypersurface of degree $d$ in $\mathbb P^4$. We analyze GIT stability of $S$ with respect to the natural $G=SO(5, \mathbb C)$-action, and understand the type of singularities when $S$ is not stable or unstable by using GIT stability analysis. In particular, we prove that if $d\ge 4$ and $S$ has at worst semi-log canonical singularities then $S$ is $G$-stable. Also, we prove that if $d\ge 3$ and $S$ has at worst semi-log canonical singularities then $S$ is $G$-semistable.
Secondly, we consider nets of quadrics in $\mathbb{P}^5$ and associated discriminants. Let $S$ be a complete intersection surface defined by a net $\Lambda$ of quadrics in $\mathbb P^5$. We analyze GIT stability of nets of quadrics in $\mathbb P^5$ up to projective equivalence, and discuss some connections between a net of quadrics and the associated discriminant sextic curve. In particular, we prove that if $S$ is normal and the discriminant $\Delta(S)$ of $S$ is stable then $\Lambda$ is stable. And we prove that if $S$ has the reduced discriminant and $\Delta(S)$ is stable then $\Lambda$ is stable. Moreover, we prove that if $S$ has simple singularities then $\Delta(S)$ has simple singularities.
모듈라이 공간을 건설하는 것은 대수기하학의 주요한 문제중의 하나이며 기하학적 불변 이론(GIT)은 모듈라이 문제에 접근하는 가장 오래된 이론중의 하나이다. 모듈라이 공간이 좋은 속성을 가지기 위해서 불안정적인 대상들을 제외시켜야 하는데 기하학적 불변 이론에서 GIT 안정성이라 부르는 것을 통해 대상들을 분류할 수 있다. 그러나 그것을 구체적으로 이해하는 것은 매우 어렵고도 흥미로운 문제이다.
곡선의 모듈라이 공간은 보통 이중점을 가장 나쁜 특이점으로 가지는 어떤 기약곡선이라도 포함할 수 있지만, 더 높은 차원에서는 어떻게 될지 불분명한 상태로 남아있다. 본 논문에서는 특정한 대수 곡면에 대한 기하학적 불변 이론과 특이점에 관하여 연구하였다.
먼저, 2차식으로 정의되는 3차원 다양체의 초곡면 단면에 대하여 연구하였다. $S$를 $\mathbb{P}^4$에 있는 2차식으로 정의되는 매끄러운 3차원 다양체와 $d$차식으로 정의되는 초곡면과의 완전교차라고 했을 때, 자연스러운 $G=SO(5, \mathbb C)$-작용에 대한 $S$의 GIT 안정성을 분석하였고, 이 GIT 안정성 분석을 통해 $S$가 안정적이지 않거나 준안정적이지 않은 경우에 특이점의 유형을 이해하였다. 특히, $d\ge 4$이고 $S$가 아무리 나빠도 semi-log canonical 특이점을 가지는 경우 $S$ 는 $G$-안정적이라는 것을 증명하였다. 또한, $d\ge 3$이고 $S$가 아무리 나빠도 semi-log canonical 특이점을 가지는 경우 $S$ 는 $G$-준안정적이라는 것을 증명하였다.
다음으로 $\mathbb{P}^5$에 있는 2차식들의 net과 대응되는 판별식에 대하여 연구하였다. $S$를 $\mathbb{P}^5$에 있는 2차식들의 net $\Lambda$에 의해 정의되는 완전교차 곡면이라 했을 때, $\Lambda$의 GIT 안정성을 분석하였고, 2차식들의 net과 대응되는 판별식인 6차 평면 곡선과의 관련성에 대하여 논하였다. 특히, $S$가 정규 곡면이고 $S$의 판별식 $\Delta(S)$가 안정적인 경우 $\Lambda$는 안정적이라는 것을 증명하였으며 $S$가 축소 판별식 $\Delta(S)$를 가지고 $\Delta(S)$가 안정적인 경우 $\Lambda$는 안정적이라는 것을 증명하였다. 게다가, $S$가 단순특이점을 가지는 경우 $\Delta(S)$도 단순특이점을 가진다는 것을 증명하였다.
