This thesis discusses on various vector bundle techniqeus and their applications, particularly on Ulrich bundles on algebraic surfaces. Ulrich bundles have several different motivations from linear algebra, commutative algebra and projective geometry. Eisenbud and Schreyer made a comprehensive study on Ulrich bundles, and even suggested a conjecture that every projective scheme supports such bundles. The main results of this thesis are existence theorems on some rational surfaces and general Enriques surfaces. We also construct new surfaces which supports rank 2 Ulrich bundles. The main ingredient is the Lazarsfeld-Mukai bundle, which plays an essential role in Brill-Noether theory. Since rank 2 Ulrich bundles of suitable first Chern class on algebraic surfaces are Lazarsfeld-Mukai bundles, we investigate properties of Lazarsfeld-Mukai bundles on those surfaces and study the space of Lazarsfeld-Mukai bundles of suitable Chern classes. In particular, we find Brill-Noether type conditions on rational and Enriques surfaces so that surfaces satisfying these conditions must carry rank 2 Ulrich bundles. Under these conditions, we first estimate the dimension of the space of Lazarsfeld-Mukai bundles. Then we find the parametrization of the failure locus to be Ulrich. We conclude that Lazarsfeld-Mukai bundles which are not Ulrich cannot fill the whole space. We also make an extensive study on Brill-Noether type conditions for rational surfaces with an anticanonical pencil. A parameter count by Lelli-Chiesa implies the analogue of Harris-Mumford conjecture for rational surfaces with an anticanonical pencil, so that a minimal pencil of a curve lying on such surfaces extends to a line bundle on these surfaces. We construct some rational surfaces which satisfy those Brill-Noether conditions. On the other hand, we show the existence of Ulrich bundles on a general Enriques surface by constructing an Ulrich bundle on its K3 cover and taking push-forward. We show that a general Enriques surface of degree 4 carries a rank 4 Ulrich bundle from the geometry of Kummer surfaces. In contrast to the case of rational surfaces, Lazarsfeld-Mukai bundles on Enriques surfaces behave not very good. We use a sharper estimation and suggest a promising approach for the existence of Ulrich bundles via Lazarsfeld-Mukai bundle techniques. Finally, we introduce a few more applications of Ulrich bundles. The most important application is that these constructions of Ulrich bundles provide a systematic way to compute Cayley-Chow forms of those surfaces. Also we compute syzygies of some 0-cycles on curves and surfaces defined by sections of a twist of Ulrich bundles of rank $=$ dimension. We show that sections of suitable twist of Ulrich line bundles on curves correspond to the case of the general set of points in the viewpoint of the minimal resolution conjecture. On the other hand, syzygies of 0-cycles on surfaces do not coincide with the general set of points but still have an interesting symmetry.
본 논문에서는 벡터 다발 기법과 그 응용, 특히 대수곡면 위의 Ulrich 다발 문제에 대해서 다루고 있다. Ulrich 다발은 선형대수, 가환대수, 사영기하 등 서로 다른 다양한 주제로부터 기인하는 특수한 벡터 다발이다. Eisenbud와 Schreyer는 Ulrich 다발에 대해서 포괄적인 연구를 진행하였고, 모든 사영 대수 스킴이 이 구조를 가질 것으로 추측하였다. 그러나 이 존재성 문제는 대수곡면들에 대해서도 거의 해결되지 않았다. 본 논문의 주 결과는 일부 유리곡면과 대부분의 Enriques 곡면 위에서의 Ulrich 다발의 존재성에 관한 정리이다. 또한 랭크 2의 Ulrich 다발을 갖는 새로운 대수곡면들을 발견하였다. 주요 기법은 Brill-Noether 이론에서 핵심적인 역할을 하는 Lazarsfeld-Mukai 다발의 응용이다. 특정한 Chern 류를 갖는 랭크 2의 Ulrich 다발이 존재한다면 항상 Lazarsfeld-Mukai 다발이 됨이 잘 알려져있다. 따라서, Ulrich 다발의 존재성 문제를 Lazarsfeld-Mukai 다발 공간의 이해로 접근하는 방법론은 자연스럽다. 이에 본 논문에서는 랭크 2의 Ulrich 다발의 존재성을 보장하는 Brill-Noether 조건들을 제시하였다. 이러한 조건 하에서 첫째로 Lazarsfeld-Mukai 다발 공간의 차원을 예측하였고, 다음으로 Ulrich 다발이 되지 못하는 Lazarsfeld-Mukai 다발들의 매개변수화를 얻었다. 이를 통해 Ulrich 다발이 되지 못하는 Lazarsfeld-Mukai 다발들이 전체 공간에 해당할 수 없음을 보여 존재성을 증명하였다. 또한 역표준 인자가 큰 유리곡면에 대해서 위에서 제시한 Brill-Noether 조건들을 폭 넓게 연구하였다. Lelli-Chiesa의 연구로부터 유리곡면에 포함된 곡선의 최소 선다발은 유리곡면 전체로 확장 가능함을 증명할 수 있다. 이 확장성을 이용하여 Brill-Noether 조건, 혹은 Ulrich 다발을 갖는 유리곡면들을 새로이 제시하였다.
반면 Enriques 곡면 위의 Ulrich 다발의 존재성은 K3 덮개 위의 Ulrich 다발을 이용하여 증명하였다. 특히, Kummer 곡면의 기하적 특성으로부터 차수 4의 일반적인 Enriques 곡면 위의 랭크 4 Ulrich 다발의 존재성을 증명하였다. Enriques 곡면 위에서는 Lazarsfeld-Mukai 다발의 성질이 좋지 않아 그 기법을 활용하기 어렵다. 본 논문에서는 이러한 문제의 어려운 점을 기술하였으며, 또한 현재 시도 중인 해결 방책을 소개하였다.
마지막으로 Ulrich 다발의 몇 가지 응용을 소개하였다. 가장 중요한 응용은 Ulrich 다발로부터 주어진 대수다양체의 Cayley-Chow 형을 계산하는 구체적인 방법의 기술이다. 또한 Ulrich 다발의 단면에
대응되는 0차원 스킴의 syzygy를 계산하였다. 대수곡선 위의 Ulrich 다발의 단면은 최소 자유 분해 가설의 관점에서 일반적인 0차원 스킴을 정의한다. 반면 대수곡면 위의 랭크 2 Ulrich 다발의 단면은 일반적인 0차원 스킴과는 다른 syzygy를 가지지만, 유사한 성질과 더불어 Betti 도표의 대칭성을 관찰할 수 있었다.
