This thesis deals with questions regarding on pricing under exponential $L\'{e}vy$ models and computing risk measures and their sensitivities. $L\'{e}vy$ models form a tractable class of models incorporating jumps and are frequently used to describe asset dynamics in finance. While these models are capable of capturing the stylized features of financial asset dynamics, such advantages also produce various theoretical and computational burdens on users. In this work, we look at two fundamental questions arising in financial mathematics under exponential $L\'{e}vy$ models and try to answer how we can reduce such burdens in practical aspects.
In the first part of this thesis, we are concerned with a simulation technique for sampling from a $L\'{e}vy$ bridge, that is, a technique for sampling the values of a $L\'{e}vy$ process at a fixed time point conditioned on the initial and terminal values of the process. This bridge sampling method is applied to simulation of path-dependent options and American options, and it significantly increases simulation efficiency.
In Chapter 2, we consider stable and tempered stable $L\'{e}vy$ subordinators, which frequently appear in financial contexts, and develop a bridge sampling method. An approximate conditional PDF given the terminal values is derived with stable index less than one, using the double saddlepoint approximation. We then propose an acceptance-rejection algorithm based on the existing gamma bridge and the inverse Gaussian bridge as proposal densities. Its performance is comparable to existing sequential sampling methods such as [30] and [44] when generating a fixed number of observations. As applications, we consider option pricing problems in $L\'{e}vy$ models. First, we demonstrate the effectiveness of bridge sampling when combined with adaptive sampling under finite-variance CGMY processes. Further efficiency gain is achieved via stratified sampling. Under normal tempered processes, we propose a hybrid sampling method for efficient least square Monte Carlo for American options valuation which reduces large memory requirements.
The second part of this thesis aims to explore fast and accurate solutions to risk management problems that arise frequently in practice in the form of conditional expectations. By extending the existing literature on saddlepoint techniques to conditional expectations, we succeed in developing new approximations that are potentially useful and give stable and accurate answers for computing risk measures and their sensitivities.
Chapter 3 derives saddlepoint expansions for conditional expectations in the form of $\mathsf{E}[\overline{X} | \overline{\bY} = \ba]$ and $\mathsf{E}[\overline{X} | \overline{\bY} \geq \ba]$ for the sample mean of a continuous random vector $(X, \bY^\top)$ whose joint moment generating function is available. %Theses conditional expectations frequently appear in various applications, particularly in quantitative finance and risk management. Using the newly developed saddlepoint expansions, we propose fast and accurate methods to compute the sensitivities of risk measures such as value-at-risk and conditional value-at-risk, and the sensitivities of financial options with respect to a market parameter. Numerical studies are provided for the accuracy verification of the new approximations.
금융 상품, 시스템 및 거래가 다양해 짐에 따라 블랙 숄즈 이론의 연구 결과를 넘어선 보다 실증적이고 고도화된 수리적 모델링, 이를 기반으로 한 가격 결정 이론에 관한 연구가 활발히 진행되었다. 또한, 최근 금융 위기 이래로 바젤 협약 등 금융 위험의 규제 및 관리에 대한 중요도가 높아지면서 전사적 위험 측도의 정밀한 계량과 실시간 분석 및 관리가 절실해졌다. 본 연구에서는 이에 관한 수리적 어려움을 해결하고자 옵션 가격 결정 및 위험 측도와 그 민감도 계산에 관한 정확하고 효율적인 수리적 방법론을 제시하고자 한다.
2장에서는 stable 레비 과정 및 tempered stable 레비 과정의 브릿지 샘플링 기법을 개발하고 이를 옵션 가격 결정에 응용하는 연구를 진행하였다. 레비 모델은 가격 변동의 불연속성과 점프, 그리고 내재 변동성의 스마일 현상을 설명할 수 있는 모델로서 금융 공학에서 널리 쓰여 왔다. 그 중에서도 본 연구에서는 heavy tail 분포를 가지며 self-similarity 현상을 보여주는 stable 레비 과정과 stable 의 큰 점프를 완화 시켜 유한한 기대값을 가지도록 만든 tempered stable 레비 과정에 대한 브릿지 샘플링 기법을 연구 하였다. 브릿지 샘플링이란 Brownian 브릿지와 같이 주어진 이산 시간에서 초기 값과 끝 값에 조건을 주어 중간 값들을 시뮬레이션 하는 기법이다. 이를 위해 먼저 더블 안장점 기법을 이용하여 조건부 확률 분포를 근사하였고, 기존에 존재하는 gamma 브릿지와 inverse Gaussian 브릿지 샘플링 기법을 활용한 acceptance-rejection 알고리듬을 제안하였다.
제안된 알고리듬은 선행연구에서 알려진 순차적 샘플링 알고리듬 방법과 비교하여 그 정확도과 효율성을 검증하였으며, 익스포넨셜 레비 모형 아래에서 몬테카를로 기법을 이용한 path 의존적 옵션 가격 비교 에서도 높은 정확도가 확인되었다. 더욱이, 브릿지 샘플링의 강점은 조건부 확률 분포가 적용되어야만 하는 경우에 더욱 두드러 지는데, 이를 위해 본 연구는 finite-variation tempered stable 과정에 대한 adaptive 샘플링 기법을 제안하여 기존의 몬테카를로 기법에 비해 계산 비용 및 시간이 현저히 낮아진다는 것을 밝혀내었다. 또한, 분산 감소 기법 중 하나인 stratification 을 브릿지 샘플링과 결합하여 옵션 가격 추정치의 상당한 분삼 감소 효과를 얻을 수 있었다. 마지막으로 후방향 다이나믹 프로그래밍 문제를 풀어야 하는 아메리칸 옵션 가격 결정에서 최소자승법 몬테카를로 기법과 함께 적용하여 한정된 자원으로 인한 저장 공간의 문제를 해결하는 방법을 제시하였다.
3장에서는 적률생성함수가 존재하는 연속 확률변수 $(X, \mathbb{Y}^\top)$, $Y \in \mathbb{R}^d$ 에 대하여 $\mathsf{E}[\overline{X} | \overline{\mathbb{Y}} = \mathbb{a}]$ 와 $\mathsf{E}[\overline{X} | \overline{\mathbb{Y}} \geq \mathbb{a}]$ 형태의 조건부 기대값에 대한 안장점 근사식을 도출하였다. 본 연구는 선행 연구에서 확률밀도함수 및 누적확률분포, 또는 $d$ 가 1 이고 $Y$ 와 $X$가 일치한 경우에만 한정적으로 알려져 있던 안장점 근사식을 더 일반적인 경우에 대해 유도 하였을 뿐만 아니라, 조건부 기대값의 형태로 나타나지는 다양한 실무적 응용을 가능하게 하였다는 점에서 기여도가 높다.
새롭게 증명된 조건부 기대값의 근사식은 먼저 가장 널리 쓰이는 위험 측도 value at risk 와 expected shortfall 에 대한 민감도를 계산하는데 응용되었다. 특히 다변수 정규 분포 및 일반화된 hyperbolic 분포를 따르는 자산 포트폴리오에 대한 위험 기여도 계산과 Delta-Gamma 포트폴리오에서 일반 모수에 대한 민감도에 계산에 응용하였다. 또한 두 자산 가격에 의존하는 유로피안 옵션 가격의 변동성에 대한 민감도 계산에 적용하였다. 수치적 분석을 통해 저자는 새로운 안장점 근사식의 정확도가 높을 뿐 아니라, 기존에 알려진 몬테카를로 기법에 의거한 추정치에 비해 더 훨씬 효과적임을 확인하였다.
