In x-ray computed tomography, exact cone-beam reconstruction algorithms have been developed for various scanning trajectories. Volumes scanned by helical, saddle, and circle-plus-line trajectories can be also reconstructed exactly with these algorithms. Generally, the exact cone-beam reconstruction algorithms are divided into two types, such as filtered backprojection and backprojection filtration. Particularly, the backprojection filtration method has influenced to develop new interior tomography algorithms using the Hilbert transform relationship. One of them is to determine the region of interest uniquely when tiny subregions inside of the region of interest are known. The solution can be obtained by projections onto convex sets, but it is well-known that the convergence speed of the projections onto convex sets is slow. Hence, to overcome the limitation, we employs a parallel proximal algorithm to simultaneously consider multiple convex constraints rather than projecting on each of them sequentially as in the projections onto convex sets. Our simulation results show that the solution for the interior tomography problem can be accurately obtained using parallel proximal algorithm with a much smaller number of iterations than the projections onto convex sets. However, knowing subregions before reconstruction is impractical, so we propose a new method of interior tomography using a one-dimensional generalized total variation seminorm penalty. Unlike the existing interior tomography work with two-dimensional total variation, the proposed algorithm guarantees the exact recovery of two- and three-dimensional piecewise smooth images using a one-dimensional generalized total variation seminorm penalty. The one-dimensional seminorm penalty allow us to convert the original two- or three-dimensional problem into a set of one-dimensional problems, and it leads to a much faster reconstruction. The restrictions placed on each one-dimensional problem by our one-dimensional regularizer are much more relaxed than those imposed by the two-dimensional regularizer in previous works. For the optimization problem with total variation, we use fast gradient projection algorithm with a sublinear rate of convergence. To further accelerate the algorithm up to a level for clinical use, we propose a novel multiscale reconstruction method by exploiting the Bedrosian identity of the Hilbert transform. More specifically, we show that the high frequency parts of the one-dimensional signals can be quickly recovered analytically with the Hilbert transform because of the Bedrosian identity. This implies that computationally expensive iterative reconstruction need only be applied to low resolution images in the downsampled domain, which significantly reduces the computational burden. We show the efficacy of the proposed multiscale algorithm using circular fan-beam and helical cone-beam geometry. With a graphics processing unit implementation, we demonstrate that the speed of the algorithm can be significantly accelerated up to the level for clinical use for various acquisition geometries.
의료 영상 진단 기기로 많이 사용되고 있는 엑스선 컴퓨터 단층촬영(CT: Computed Tomography)은 다중채널 CT의 보급으로 3차원의 영상을 단시간에 얻을 수 있게 되었다. 다중채널 CT 복원은 2차원 복원을 근사화 한 방법으로 이루어 지고 있는 경우가 대부분인데 이는 구현이 쉬운 장점이 있으나 다중채널이 증가하면 증가할 수록 z축 방향으로 왜곡 현상이 심해지게 된다. 이러한 단점을 극복하기 위해 다양한 궤적으로 촬영한 다중채널 CT의 정확한 복원 방법이 개발되었는데 크게 선 필터처리 후 역투영(FBP: Filtered Backprojection)과 선 역투형 후 필터처리(BPF: Backprojection Filtration) 방식으로 구분할 수 있다. 본 연구에서는 이 두 가지 알고리즘의 다양한 궤적에 대한 구현 방법을 설명하고 그래픽 처리 장치(GPU: graphic processing unit)를 이용한 병렬화 구현하였다. 선 필터처리 후 역투영 방식과 역투영 후 필터처리 방식 중 특히 선 역투영 후 필터처리 방식은 최근 방사선 조사량을 줄이기 위한 내부 단층 촬영 기술 개발에 큰 영향을 미치고 있다. 내부 단층 촬영 기술은 검출기의 크기가 모든 각도에 대해 인체를 포함하지 않고도 인체의 내부를 복원하는 기술을 말한다. 선 역투영 후 필터처리 방식은 기존의 2차원 혹은 3차원의 복원 문제를 여러 개의 1차원 문제들로 축소시킬 수 있다는 장점이 있는데 이러한 방법을 기반으로 아주 작은 영역이라도 복원하려는 관심 영역(ROI: Region of Interest)안의 일부분의 밝기 값을 알고 있다면 이를 이용해 나머지 영역을 유일하게 복원할 수 있다는 것이 증명 되었다. 하지만 아주 작은 영역이라도 내부의 밝기 값을 미리 안다는 것은 특수한 경우에만 가능하기 때문에 비실용적이라는 단점이 있다. 이를 극복하기 위해 2, 3차원의 총변동(TV: Total Variation)을 사용하여 복원이 가능한데 이는 정확한 결과를 얻는데는 성공하였지만 고차원의 TV를 적용하기 위해 많은 제한과 복잡도가 들어가는 단점이 있다. 우리는 이를 극복하기 위해 1차원의 일반화된 TV를 이용한 내부 단층촬영 기술을 제안하였다. 제안된 방법은 여러가 경우에 대해 보다 유연하고 간단한 구현을 가능하게 하였다. 여기서 더 나아가 우리는 실제 병원에서 사용할 수 있을 정도의 복원 속도를 가능하게 하기 위해 다중해상도 복원법을 제안하였다. 이는 선 역투영 후 필터처리 복원에서 필터처리에 해당하는 힐버트 변환이 고주파 성분에 대해서는 신호의 절단이 변환 결과에 영향을 미치지 않는다는 이론에서 기반되었다. 따라서 복원 시, 고주파 성분은 내부 촬영값을 이용한 힐버트 변환으로 복원하고 저주파 성분은 1차원의 일반화된 TV를 이용하여 반복적으로 복원하되 다운 샘플링을 통해 그 시간을 단축 시킬 수 있다. 최종 적으로 이 두 가지 신호를 합치면 최종 복원이 이루어 진다. 제안된 알고리즘은 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 1차원의 일반화된 TV를 이용한 복원이 정확한 복원이 가능하다는 것과 해상도를 낮춘 신호에 대해서만 반복적으로 복원을 하는 것이 복원 시간을 현저히 낮출 수 있다는 것을 증명하는데 성공하였다.
