A method in which mass and energy balance equations and equilibrium relationship can be simplified for the solution of separation process has been developed. It has been assumed that the variables such as temperatures, liquid mole fraction, etc. are the continuous function of distance variable, Z. Then the reduced-order model can be obtained by orthogonal collocation method. For example, the liquid mole fraction can be expressed as follows:
$$X(z) = \sum^{n+2}_{k=1}\; 1_k (z) X_k$$
Where n+2 is the number of collocation points, $X_k$ is the liquid mole fraction evaluated at collocation point $Z_k$, and $1_k (z)$ is the Lagrange polynomial. The above equation can be applied to the other variables in like manner and this is the most important assumption.
As shown in the above equation, our basic idea is that we can reduce the order of the equations by determining the number of collocation points regardless of the number of trays in the column with the several examples we test (1) the effect of the location of collocation points on accuracy and convergency (2) the effect of the number of collocation points on accuracy, (3) the effect of the number of trays on accuracy (4) the effect of the number of components on application of the present model. It has been found that three or four-point collocation method gives satisfactory results.
Consequently the complicated equations describing separation process can be solved by reduced-order model without sacrificing accuracy. But it should be mentioned that the present simplified model exhibits some numerical problems in extreme case.
상평형 분리공정에 있어서 물질 및 열수지식과 상평형식을 간단히 변형된 식을 이용하여 풀 수 있는 방법을 고안하였다. 이 방법은 각 단에서의 온도와 액상, 물분율등을 그 분리탑의 거리에 대한 연속함수로 가정해서 수식의 차수를 직교병치 방법에 의해서 낮춤으로써 얻어진다. 예를 들면 물분율은 다음식과 같이 주어진다.
$$X(Z) = \sum^{n+2}_{k=1} 1_K (Z)X_K$$
여기서 n + 2는 병치점의 갯수를 의미하며, $1_K(Z)$는 라그랑제 다항식이며 $X_K$는 병치점에서의 물분율을 의미한다. 다른 변수들도 같은 방법으로 표시할 수 있으며 이것이 가장 중요한 가정이다. 따라서 (1) 식에서 보듯이 분리팁내의 단의 갯수에 관계없이 병치점의 갯수에 의해서 수식의 차수를 줄일 수 있으며 이것이 우리의 기본적인 생각이다. 여러 예제를 통하여 다음과 같은 사항들을 검토하였다.
(1)병치점의 위치에 따른 정확도와 수렴성에 대한 문제 (2)병치점의 갯수에 따른 정확도의 차이 (3)단의 갯수에 따른 정확도의 변화 (4)성분의 갯수에 따른 적용성 여부
위의 모든 경우에 대해 세개 혹은 네개 정도의 병치점을 사용하면 매우 만족할만한 결과를 얻을 수 있었다. 가정식의 결과와 정확한 값과의 비교는 그래프로 그려서 정리하였다. 결과적으로 복잡한 수지식을 오차가 거의 없이 간단히 변형해서 풀 수 있음을 알아냈다.
우리가 고안한 방법은 극단적인 경우에 대해서는 수치해석적인 난점을 안고 있으나 여러가지 방법으로 더 연구하면 해결되리라 기대된다.
