Finite elements based on polygons with n sides offer greater flexibility for mesh generation and ac-curacy when solving models with complex geometries. The use of polygonal elements with an arbitrary number of sides is more useful for the modeling of polycrystalline material structure than triangular and quadrilateral elements. These elements can be used as transition elements to treat the element incompatibility. In order to use the polygonal elements more actively, a study that enhance accuracy of the element is needed such as the case of triangular and quadrilateral finite elements.
In this study, we propose a performance improvement and higher-order extension of a virtual node polygonal element method. The virtual node method satisfies all the requirements of FE shape functions and because approximation functions are polynomials, the numerical integration can be evaluated accurately using Gauss quadrature. In order to enhance accuracy of the virtual node method based elements without adding degrees of freedom, we use the method that the strain smoothing technique is applied to the virtual node polygonal element. Cell-based smoothing technique can be applied because the strain field used to construct the stiffness matrix is not constant over the virtual triangle of the element. Since the virtual triangles are identical to the sub-cells of the element for the cell-based smoothed finite element method, analysis process of the virtual node method can be used without any modification. Through several numerical examples of linear elasticity, the performance of the proposed element is demonstrated.
As another method to enhance the accuracy of the method, we propose a higher-order virtual node method using generalized finite element method. For this purpose, nodal degrees of freedom are added and corresponding polynomial enrichment sets are used. By using generalized finite element method, the approximation order of the virtual node method based element is increased without additional nodes and resulting shape functions are polynomials as ever. To tackle the singularity of the stiffness matrix caused from using polynomial enrichment functions, we use the iterative solver.
We use the proposed element as a transition element in the h-adaptive refinement technique that is effective for an analysis of problems including local properties such as singularities and stress concentra-tions. Triangular meshes that are enable automatic mesh generation are considered and quadtree data structure is used in order to raise efficiency of the h-adaptive refinement. To test the performance of the proposed element as a transition element, several numerical examples for the Poisson and linear elasticity problem are studied and the results are compared with ones of the red-green refinement strategy and the constrained approximation method. Furthermore, in addition to the merits of treating hanging nodes, the proposed element is straightforward for local p-refinement because it can change the polynomial approxi-mation orders based on the nodes. Hence, through various numerical examples, hp-adaptive refinement is carried out and compared the results with h-adaptive refinement.
n개의 변을 가지는 다각형 기반 유한 요소는 복잡한 형상을 가지는 모델을 해석하는 데 있어, 요소망 생성에서의 유연성과 정확성을 제공한다. 임의의 개수의 변을 가지는 다각형 요소의 사용은 삼각형, 사각형 요소보다 다결정 재료 구조의 모델링에 더욱 유용하다. 또한 요소 비적합성을 처리하기 위한 전이 요소로도 사용될 수 있다. 다각형 요소가 더욱 활용되기 위해서는, 기존 삼각형, 사각형 요소와 마찬가지로 요소의 성능 향상에 대한 연구가 필요하다.
본 연구에서는 가상 절점 다각형 요소법의 성능 개선과 고차 근사 확장을 제안하였다. 가상 절점 방법은 유한 요소 형상함수의 특성을 만족하며, 근사 함수가 다항식이기 때문에 가우스 구적법을 사용하여 수치적분을 정확히 계산할 수 있다. 자유도 추가 없이 가상 절점 방법 기반 요소의 성능을 향상시키기 위해, 변형률 평활화 기법이 가상 절점 다각형 요소에 적용된다. 가상 절점 다각형 요소의 가상 삼각형 위에서의 변형률이 일정 변형률이 아니기 때문에, 이에 유효한 셀 기반 평활화 기법이 적용될 수 있다. 가상 삼각형과 셀 기반 평활화 유한 요소법의 부 영역이 동일하기 때문에, 가상 절점 방법의 해석 과정을 별도의 수정 없이 그대로 사용할 수 있다. 선형 탄성 수치 예제들을 통해, 제안된 요소의 성능을 제시하였다.
정확성 향상을 위한 또 다른 방법으로써, generalized finite element method을 이용한 가상 절점 방법의 고차 근사 확장을 제안하였다. 이를 위해 절점 자유도가 추가되며, 이에 대응되는 다항식 확장 함수 집합이 사용되었다. generalized finite element method을 사용함으로써, 추가 절점 없이 요소 근사 차수가 증가되며 그에 대한 형상 함수는 다항식을 그대로 유지하게 된다. 다항식 확장 함수를 사용함으로써 발생하는 강성행렬의 특이성을 해결하기 위해, 본 연구에서는 축차 솔버를 사용하였다.
특이성이나 응력 집중과 같은 국부 특성이 포함된 문제의 해석에 효과적인 h-적응적 세분화 기법에 제안된 요소를 전이요소로 사용하였다. 자동 요소망 생성이 용이한 삼각형 요소망이 고려되었으며, h-적응적 세분화의 효율성을 높일 수 있는 쿼드트리 자료 구조가 사용되었다. 이에 대한 성능을 검증하기 위해 푸아송 문제와 선형 탄성 문제에 적용해 보았으며, 해석 결과는 red-green 세분화 전략, 제한 근사 방법을 이용한 해석 결과와 비교하였다. 제안된 요소는 hanging 절점 처리가 용이한 장점뿐만 아니라, 다항식 근사 차수를 절점 기반으로 바꿀 수 있기 때문에 국부 p-세분화를 쉽게 수행할 수 있다. 따라서, 다양한 수치 예제들을 통해, hp-적응적 세분화를 수행하고 그 결과를 h-적응적 세분화와 비교하였다.
