We have investigated the local qualitive behavior of a certain formally integrable system of complex vector fields defined on an open subset of the N-dimensional Euclidean space.
First, we deal with the local integrabillity of the so called CR-hypersurfaces. After reducing the corresponding CR-structure into a canonical form in some sense via a local change of coordinates, we have found a necessary condition and a sufficient condition for a given CR-hypersurface to be locally integrable. These results explain the nonlocal integrability of now calssical example of L. Nirenberg and extend the result of N. Hanges for N=3. It also supplement the Kuranishi's theorem saying that every CR-hypersurface is locally integrable if N is greater than or equals to 9.
Secondly, we deal with the hypoellipticity and analytic-hypoellpticity of a locally integrable system of n=N-1 complex vector fields. Using the local constnacy principle of such a system due to F. Treves and M. Baouendi, we have found sufficient conditions for such a system to be (anslytic-) hypoelliptic. In some restricted cases, these conditions are shown to be necessary and sufficient. Fundamental idea of the proof of these results is to form the Laplacian associated to the system, which is a second order differenteal operator with double characteristicts and to observe that hypoellipticity of the Laplacian implies that of the system.
Finally, we provide a brief survey of the solvabliity of the system, the one of the fundamental question closely related to the hypoellipticity and some concrete examples explaining the scope of this work.
본 논문 에서는 N 차원 다양체상에 주어진 형식적으로 가적한 벡터장계의 정성적 성질을 국소적으로 조사했다.
처음에 우리는 CR-초평면의 국소 가적성을 다루었다. 국소 변수 변환에 의해서 CR-구조를 전형적 형태로 바꾼뒤 주어진 CR-초평면이 국소 가적할 필요 조건과 충분 조건을 구했다. 이러한 결과는 L.Nirenberg의 예가 국소가적하지 않음을 설명해주고 N.Hanges의 N=3 일때의 결과를 확장시킨 것이다. 이것은 또한 N이 9 이상인 경우 모든 CR-초평면이 국소 가적하다는 Kuranishi의 결과를 보충하는 것이다.
둘째로 n=N-1 개의 국소 가적한 복소 베터장을 갖는 준타원성과 해석적 준타원성에 대해서 다루었다. F.Treves와 M.Baouendi가 제시한 국소상수성 원리를 이용해서 그와같은 계의 준타원성과 해석적 준타원성을 구했다. 특별한 경우 이러한 조건은 필요 충분조건이 된다. 이러한 결과를 증명하는 기본 생각은 2중 특성을 갖는 2차 미분 작용소가 되는 그 계의 Laplacian을 구성 한뒤 계의 준타원성을 말해주는 Laplacian의 준타원성을 살펴보는 것이다.
마지막으로 준타원성과 밀접한 관계가있는 국소 가해성에대한 요약을 했고 이러한 연구의 목적을 설명하는 몇가지 예를 제시했다.
