The main purpose of work is to present a general approach by which fairly complicated multiserver queueing system in transient state could be simply approximated by diffusion processes.
In order to approximate the transient behavior of multiserver queueing system we construct diffusion processes with suitable boundary conditions and diffusion parameters which are determined by the parameters of queueing system. Using the transition density function of the diffusion process, we derive the apporximate forms of the system size distribution. To find the transition density function of the diffusion process, we solve a partial differential equation so called Kolmogorov forward equation or Fokker-Planck equation. The solution of Kolmogorov forward equation is given in the form of Laplace transform with respect to the variable t. We also obtain the stationary distribution of queue size for G/G/m (G/G/m/N) system by letting t→∞ in transient solution. We derive the distribution of the first passage time of diffusion process from the transition density function of the diffusion process. Using the first passage time of diffusion process, we obtain the approximations for the distributions of the first overflow time in G/G/m/N-1 system, maximum queue length up to time t and k-busty period in G/G/m system. The transient approximation for the distribution of the number of customers at each stages in the two stages cyclic system is also obtained. For the lack of exact transient solution of queueing system with multiple server, we check the accuracy of approximation by comparing approximation results with simulation experiments. The numerical results show that the diffusion approximation is very accurate for all traffic cases.
이 논문의 목적은 복수창구를 갖는 대기체계에서 일시상태의 고객의 수의 확률분포를 확산과정을 이용하여 근사하는 방법을 해석적으로 분석하고 그에따른 일반적인 이론을 개발하는 것이다.
확산과정을 이용하여 복수창구를 갖는 대기체계 내에 있는 고객의 수에 대한 확률분포의 근사식을 구하기 위해서는 먼저 대기체계의 모수로부터 알맞는 확산 과정의 모수와 경계조건을 결정한다. 확산과정의 추이확률분포를 구하기 위해서는 콜모고로프(Kolmogorov) 전향방정식 (혹은 Fokker-Planck 방정식) 이라고 불려지는 변수계수의 2차 편미분방정식의 해를 구한다. 위에서 구한 확산과정의 추이확률분포를 이용하여 대기체계 내에있는 일시상태의 고객의 수에 대한 확률분포의 근사식을 구하고 시간변수 t를 무한대로 보냄으로써 안정상태의 고객의 수에 대한 확률 분포의 근사식도 구한다.
유한의 대기실과 복수창구를 갖는 대기모형에 대해서 일시상태의 고객의 수에 대한 확률분포를 구하고 이를 이용하여 유한대기실을 갖는 대기체계에서 고객의 수가 최초로 대기실의 용량을 초과하는 시각과 무한의 대기실을 갖는 대기체계에서 k-busy period에 대한 확률분포의 근사식을 구하였다. 또한 t시간까지의 고객의 최대수에 대한 확률분포를 구하였다. 2개의 스테이지(stage)를 갖는 순환 대기체계에서 각 스테이지(stage)에서의 고객의 수에 대한 일시상태의 확률분포의 근사식을 구하였다.
복수창구를 갖는 대기체계에서 고객의 수에대한 일시상태의 확률분포는 알려져 있지 않기때문에 확산과정으로 근사한 결과와 시뮬레이션(simulation)의 결과를 수치적으로 비교하여 이 논문에서 제시한 근사법이 모든 트래픽 (traffic) 밀도에 대해서 잘 맞는다는것을 보였다.
