In practice, there can be some non-ignorable noise or disturbance in feedback information obtained from sensors. This is referred to as sensor noise. Measurement feedback controller is a kind of feedback controller using not the exact state/output but the disturbed state/output by sensor noise. If we can know the exact value of sensor noise, we can set off the noise. However, in general sensor noise cannot be known exactly and thus feedback information cannot be known exactly. Moreover, in contrast to the previous robust control for disturbance rejection, matching conditions do not exist because state/output is coupled with sensor noise and the sensor noise is mistaken as a state/output, and it makes the rejection of sensor noise effect impossible. There have been many analytical approaches to control the nonlinear systems with measurement feedback controller. However, even though DC component of sensor noise is zero, the results cannot reduce the ultimate bound to the size smaller than the magnitude of sensor noise without impractical assumptions such that sensor noise is generated with a known dynamics.
It is well known that sensor noise has high frequency. It means that sensor noise varies fast along time. On the other hand, by adjusting gain, we can make the state/output vary slowly. Then, the frequency property of state/output and sensor noise can be different in some degree, and we can expect to separate feedback information from sensor noise with some extent by employing low-pass filter.
However, combining low-pass filter with controller stabilizing system without noise can make closed loop system unstable. First, we analyze this problem. Then, to solve the problem, we propose a new method that combining low-pass filter with measurement feedback controller for uncertain nonlinear systems whose upper bounds of uncertainties are smaller than the constant times of norm of states. Then, we show that the proposed method guarantees the states of system bounded. Moreover, through analysis we show that when sensor noise enters into a part of states, the effect of sensor noise can be reduced by adjusting controller gain.
However, the measurement state feedback controller employing low-pass filter has a limitation that the sensor noise should be a kind of band limited fourier transformable signals or specific periodic signals. To overcome the limitation, we introduce a virtual state and then design an observer estimating actual states and virtual state. Then, we employ the estimated states and virtual state as a part of controller. With the proposed methods, we can make all states and output bounded, further, the steady state error of the states can be reduced arbitrarily small if only DC component of sensor noise is zero.
The controller designed based on virtual state requires small gain to reduce steady state error which causes slow transient response. To improve transient response while maintaining the steady state error below the desired range, we analyzed the relation between the switching gain ratio, the number of switching, switching time, and the upper bound of trajectory and the time to reach steady state. Then based on the analysis we proposed switching rule of the gain which guarantees to improve transient response while maintaining the steady state error below the desired range.
Since time delay is frequently encountered in measurement feedback control due to limitation of sensor, we extend the considered system to a system containing time delay as well as sensor noise. First, we consider a control problem of a chain of integrators under sensor noise with unknown input time delay. Since unknown input time delay can make system unstable with fixed gain or switching gain, we newly design dynamic gain controller based on virtual state. Then, based on the dynamic gain controller and virtual state, we propose another dynamic gain controller for uncertain nonlinear systems under sensor noise with time delay, whose upper bounds of uncertain nonlinearities are not bounded by the norm of states. For both systems with different dynamic gain controllers, by adjusting some parameters of each dynamic gain, the boundedness of the states/output of the closed loop system is guaranteed and the steady state error of the states/output can be reduced arbitrarily small if DC component of sensor noise is zero.
Finally, we applied our proposed switching controllers to ball-and-beam system without input time delay, and our proposed dynamic gain controllers to ball-and-beam system with input time delay, and show that for both cases, our proposed controller guarantees better transient performance and steady state error than the proposed controller.
실제 제어 시스템에서 사용되는 센서에는 무시할 수 없는 잡음이나 외란이 존재한다. 이들은 센서 잡음이라 통칭된다. 측정 궤환 제어는 이론적으로 이상적인 가정 즉 센서 잡음이 없다는 가정하에서 궤환 제어기를 설계하는 것이 아닌 센서 잡음으로 인해 실제 시스템 상태 및 출력과는 측정 오차가 있는 측정 궤환 신호를 이용하는 제어기 설계의 한 방법이다. 우리가 센서 잡음의 정확한 값을 알 수 있다면 그 센서 잡음의 값을 상쇄시킬 수 있다. 하지만 일반적으로 센서 잡음의 값은 정확히 알기 어렵고 따라서 궤환 되는 정보의 값은 정확하지 않다. 이러한 센서 잡음으로 인하여 발생되는 문제는 기존의 외란 제거를 위한 강인제어와는 다른 형태의 문제인데, 그 이유는 외란 제거의 문제는 현재 시스템 상태나 출력을 정확히 감지할 수 있기에 외란의 영향을 파악할 수 있는 경우가 있는 반면에 센서 잡음은 그 자체로 시스템 상태와 출력을 정확히 감지할 수 없게 만들어 센서 잡음의 영향을 파악하기가 어렵고 또한 이러한 문제로 인해 입력에 정합조건이 성립되지 않기 때문이다. 이는 센서 잡음의 효과를 제거하기가 어렵게 만든다. 비선형 시스템에서 센서 잡음의 영향을 줄이려는 측정 궤환제어기를 이용한 연구들이 많이 있었으나 센서 잡음이 정확히 알려지는 특수한 경우를 제외하면 이들은 시스템의 출력과 상태의 정상 상태 오차를 센서 잡음의 크기 이하로 줄일 수 있음을 보장하지 못하였고, 이는 센서 잡음의 주파수가 0인 성분을 포함하지 않을 때도 마찬가지이다. 저주파 통과 필터와 제어기의 결합은 시스템의 출력과 상태에 영향을 줄 것이라는 것은 직관적이지만, 실제로는 이들을 단순히 결합하였을 때 시스템이 발진할 수 있다. 이는 제어 이득과 저주파 통과 필터의 차단 주파수와 관련이 됨을 보였고, 이를 토대로 불확실성의 절대값의 상한이 시스템 상태의 크기의 상수배보다 작거나 같은 불확실한 비선형 시스템을 대상으로 저주파 통과 필터와 제어기를 결합하는 새로운 방법을 제안하였다. 이 방법을 통해서 저주파 통과 필터와 제어기를 결합하고 제어기의 이득을 낮춤으로써 시스템 출력과 상태에 대한 센서 잡음의 효과를 줄일 수 있음을 보였다. 하지만 이와 같은 방식으로도 센서 잡음이 퓨리에 변환 가능하거나 특정 주기 신호인 경우만을 다룰 수 있다는 한계가 있는데, 이를 극복하기 위해서 우리는 가상 상태라는 것을 새로 도입하고 이러한 가상 상태를 이용함으로써 새로운 제어 기법을 제안하였다. 이 방식으로 센서 잡음의 주파수 성분에 상관 없이 시스템 출력의 정상 상태 오차가 센서 잡음의 크기 정도로 제한됨을 보장하였고, 더 나아가 주파수 0의 성분이 없을 때는 센서 잡음의 크기에 상관없이 정상 상태 오차를 원하는 범우 이내로 들어 오게 만듬을 보장하였다. 또한 정상 상태 오차뿐만 아니라 과도 응답 개선을 위해서 제어 이득의 스위칭을 연구하였는데 이를 통해서 스위칭시에 시스템 상태나 출력이 순간적으로 커지는 현상을 줄이고 정상 상태에 도달하는 시간을 효과적으로 줄일 수 있음을 보였다. 반면, 측정 궤환 제어기에서는 센서의 성능 한계로 인하여 시간 지연이 발생되기 때문에, 우리는 센서 잡음뿐만 아니라 시간 지연이 존재하는 시스템으로 대상 시스템을 확장하였다. 이를 위해서 우리는 먼저 센서 잡음과 함께 알려지지 않은 입력 시간 지연을 갖는 적분기 사슬 시스템을 다루었다. 고정된 제어 이득이나 제어 이득의 스위칭으로는 알려지지 않은 입력 시간 지연에 대해 시스템 상태나 출력의 유한함을 보장할 수 없기에, 가상 상태에 기반한 동적 이득 제어기를 개발하였다. 앞서 제안한 동적 이득 제어기와 가상 상태를 바탕으로, 센서 잡음과 시간 지연이 있는 불확실성의 절대값 상한이 시스템 상태의 크기의 상수배로 상한되지 않는 시스템을 다루기 위해, 또다른 형태의 동적 이득 제어기를 설계하였다. 위 두가지 시스템에 대해 각각의 동적 이득 제어기의 매개변수를 조정함으로써 폐루프 시스템의 상태와 출력의 유한함을 보장하고, 센서 잡음이 주파수 0의 성분을 포함하지 않을 때 시스템 상태와 출력의 정상 상태 오차를 임의로 작게 만들어질 수 있음을 보였다. 마지막으로 제안한 이득 스위칭 기법과 동적 이득 제어기를 각각 입력 시간 지연이 없는 볼빔 시스템과 입력 시간 지연이 있는 볼빔 시스템에 적용하고 기존 결과에 비해서 과도 응답과 정상 상태 오차를 모두 개선할 수 있음을 보였다.
