Reliability analysis is performed to calculate a probability of failure considering various uncertainties in an engineering system. Reliability-based design optimization (RBDO) includes the reliability analysis to estimate a probabilistic constraint. Difficulty in calculating the probability of failure for the engineering system leads to two main challenges: 1) inefficiency due to an RBDO structure, and 2) inaccuracy in estimating probability of failure. Main goal of this study is the improvement of these challenges. To accomplish the goal of this study, second-order sensitivity (or Hessian) is required. It is quite difficult to calculate the second-order sensitivity analytically in the engineering system. In this case, numerical methods such as the finite difference method are used, which yields heavy computational burden. For this reason, a quasi-Newton approach to approximate the second-order sensitivity is introduced in this study instead of calculating the true Hessian. Symmetric rank-1 (SR1) update is used for the approximation of the Hessian. In this way, valuable data such as the first-order sensitivity at previous steps can be reused, preventing dissipation of the previous information obtained expensively.
First of all, semi-single-loop structure is proposed in this study using the approximated second-order sensitivity in order to resolve the inefficiency due to the RBDO structure. This proposed RBDO structure can make up for the weaknesses of the double-loop method and the single-loop method. In the semi-single-loop method (SSLM) using the proposed structure, a sensitivity analysis of the reliability analysis result is performed in order to ap-proximate MPP. According to the validity of the approximation, the approximated MPP is used for the evaluation of probabilistic constraints without performing the reliability analysis. As long as the approximation of MPP is valid, the proposed method has the single-loop structure with great efficiency and assured accuracy. If the approx-imation of MPP loses its validity, a fast reliability analysis is carried out by selecting the approximated MPP as a starting point. The approximated MPP is usually close to the true MPP despite the case that it does not satisfy the condition, indicating that the approximated MPP is a good starting point for finding MPP. The robustness and accuracy of the proposed method are fully ensured due to the concept of checking the validity of the approximated MPP. Numerical examples are tested to verify these advantages of the proposed method and to compare the result
to those of existing RBDO methods.
Secondly, the approximated second-order sensitivity can be utilized to improve the accuracy in calculating the probability of failure. Due to the numerical efficiency, RBDO methods have been mostly developed using first-order reliability method (FORM) which linearizes a performance function to calculate the probability of failure analytically. However, the error incurred by the linearization becomes considerable when the performance func-tion is highly nonlinear. In this case, second-order reliability method (SORM) is required to consider a curvature of the performance function. Despite its accuracy, SORM is not commonly used because calculation of the Hes-sian is required, which yields heavy computational burden. To resolve the efficiency problem in SORM incurred by the Hessian calculation, SR1-based Hessian approximation technique is introduced in this study instead of calculating the true Hessian. The proposed approximated SORM (ASORM) with the approximated Hessian re-quires computations only used in FORM, while accuracy for the reliability estimation is significantly improved.
The improved SORM method is also proposed in this study by introducing the importance sampling method to calculate the probability of failure of the approximated second-order performance function. In this way, the proposed SORM can eliminate the errors included in the conventional SORM methods, so the accuracy in esti-mating the probability of failure can be improved and the stochastic sensitivity analysis can be readily performed using the proposed SORM. In the stochastic sensitivity analysis of the proposed SORM, the second-order sensi-tivity of the probability of failure as well as the first-order sensitivity can be calculated without calling the original performance function additionally. Furthermore, the optimum correction technique is proposed using the proposed stochastic sensitivity analysis in order to obtain the reliability-based optimum satisfying the target reliability more accurately.
The proposed RBDO methods are applied to the structural problem including the finite element analysis to verify that a reliable solution can be obtained by the proposed methods for real engineering problems. As the real engineering problems, an aluminum electrical railcar and a blade link structure are considered.
본 연구에서는 신뢰도 기반 최적설계에서 대두되는 주요 문제인 최적화 과정의 구조적 문제에 따른 수치 비효율성과 파괴확률 산정에서의 부정확성 개선을 목표로 한다. 이 과정에서 이차민감도정보가 필요하다. 실제 공학 시스템에서 이차민감도를 해석적으로 구하는 것은 매우 난해하며, 수치적으로 구할 경우 상당한 계산비용이 발생한다는 문제를 가진다. 따라서 본 연구에서는 SR1 (symmetric rank-one) 기반의 이차민감도 근사기법을 이용한다. SR1 기반의 이차민감도 근사기법은 과거 축차의 일차민감도정보를 이용해 순차적으로 헤시안을 갱신하며, 이 과정에서 추가적인 함수호출은 필요하지 않다. 기존의 방법들은 이전 축차에서 비싼 계산비용으로 얻어진 일차민감도정보들이 재사용 없이 버려지게 되지만, 제안된 방법에서는 과거 정보의 재사용을 통해 계산 효율성과 확률산정의 정확성을 개선한다. 본 연구에서는 기존의 신뢰도 기반 최적설계가 가지는 최적화의 구조적 문제를 해결하기 위해 근사된 이차민감도를 이용한 준단일루프구조 (semi-single-loop structure)를 제안한다. 확률론적 제한조건을 평가하기 위해 효율성이 높은 일차신뢰도법을 사용한다 할지라도, 전산해석이 동반된 대형구조문제에 신뢰도 기반 최적설계를 적용하기 위해서는 여전히 계산효율을 개선시키는 노력이 필요하다. 내재된 이중루프구조로 이루어진 신뢰도 기반 최적설계의 구조적 문제를 해결하기 위해 단일루프방법이 제안되었다. 하지만 단일루프방법은 강건성에 문제가 있어, 여러 요인에 따라 개선효율이 크게 달라지며 경우에 따라서는 수렴하지 못 하고 발산하는 문제를 보인다고 알려져 있다. 따라서 매 축차마다 확률론적 제한조건을 평가하는 내재된 이중루프방법이 강건성은 더 뛰어나다고 볼 수 있다. 본 연구에서 제안된 준단일루프구조는 내재된 이중루프방법의 강건성과 단일루프방법의 효율성을 동시에 달성한다. 준단일루프방법에서는 신뢰도 해석 결과의 민감도를 이용해 최대가능손상점을 근사한다. 제안된 방법의 강건성을 높이기 위해 근사된 최대가능손상점의 근사유효성을 확인하고, 근사가 유효한 경우에는 근사된 최대가능손상점을 실제 최대가능손상점으로 보고 다음 축차의 확률론적 제한조건평가에 이용한다. 그 결과 최대가능손상점 근사가 유효한 경우, 제안된 방법은 신뢰도 해석이 필요하지 않은 단일루프를 구성한다. 만약 최대가능손상점 근사가 유효하지 않는다면, 근사된 최대가능손상점을 초기점으로 한 신뢰도 해석을 수행한다. 이와 같이 준단일루프구조는 최대가능손상점의 근사유효성에 따라 단일루프구조와 이중루프구조로 매 축차마다 나뉘게 된다. 제한조건 평가단계가 이중루프구조에 속한다고 할지라도, 근사된 최대가능손상점를 초기점으로 한 빠른 신뢰도 해석를 수행하기 때문에 작은 계산비용으로 제한조건을 평가할 수 있다. 이러한 방법으로 준단일루프방법은 높은 계산효율과 강건성을 달성한다. 또한, 근사된 이차민감도는 파괴확률 산정의 정확성을 높이기 위해 사용될 수 있다. 기존의 신뢰도 기반 최적설계의 경우, 최대가능손상점에서 성능함수를 선형화하여 파괴확률을 산정하는 일차신뢰도법을 기반으로 개발되어왔다. 그 이유는 신뢰도 해석 방법 중 최대가능손상점과 원점 사이의 거리만을 파괴확률 산정에 이용하는 일차신뢰도법이 효율성이 신뢰도 해석 방법 중 가장 높기 때문이다. 하지만 시스템을 구성하는 확률변수의 차원이 높거나 성능함수의 비선형성이 심한 경우, 일차신뢰도법은 파괴확률 산정에서 큰 오차를 보일 수 있다. 이를 해결하기 위해서는 이차신뢰도법과 같은 고등의 신뢰도 해석이 요구되지만, 효율성의 이유로 흔히 사용되지 못 하고 있다. 이차신뢰도법을 통해 파괴확률을 산정하기 위해서는 수치적 비효율성을 야기하는 이차민감도의 계산이 요구된다. 본 연구에서는 SR1 갱신 기반의 이차민감도 근사기법을 이차신뢰도법에 적용시킨, 근사이차신뢰도법 (Approximated SORM, ASORM)을 제안한다. 근사이차신뢰도법에서는 최대가능손상점 탐색과정에서 얻은 과거 민감도정보를 이용해 이차민감도를 근사하기 때문에, 일차신뢰도법과 동일한 계산비용이 발생한다. 하지만 근사된 이차민감도를 통해 성능함수의 곡률을 고려할 수 있기 때문에, 파괴확률 산정에서의 정확성이 비약적으로 개선된다. 본 연구에서는 이차신뢰도법과 중요도 추출법을 결합함으로써, 파괴확률 산정에서의 정확성을 향상시키고 확률민감도해석을 수행한다. 본 연구에서는 제안된 이차신뢰도법을 이용해 얻은 파괴확률과 일차 및 이차 확률민감도를 이용한 최적해 보정기법 (Optimum correction technique)을 제안하며, 이를 통해 활성화 제한조건에 대해 목표신뢰도를 정확히 만족시키는 신뢰도 기반 최적해를 얻을 수 있다.
