The practical rotors have some asymmetrical properties in bearings and/or rotors. The asymmetry in rotors and/or bearings affects the whirl speeds, the magnitude o forced responses, the mode shapes and the stability of rotor system.
Vibration analysis method of rotor systems may be divided into two major classes according to modeling procedure, discretization method and analytical method. Some analytical solutions which treats a rotor system as a distributed parameter system were provided, and Modal Analysis was performed, but most works have considered only simple models such as Euler-Bernoulli shafts in geometric boundary conditions. The difficulties in Modal Analysis of rotor systems which include the effects of rotary inertia and gyroscopic moments arise from the fact that the resulting eigenvalue problems are characterized by the presence of skew symmetric matrices with differential operators as elements due to rotation, resulting in non-self-adjoint eigenvalue problem.
Using Lagrangian formulation the equations of motion and boundary conditions of continuous anisotropic and asymmetrical rotor-bearing systems are evaluated. By writing the equations of motion of the rotor system which includes the effects of rotary inertia, gyroscopic moments and natural boundary conditions in state space the standard non-self-adjoint eigenvalue problem is obtained. The Modal Analysis of the anisotropic and asymmetrical rotor system is performed. Using the Modal Analysis the effects of the asymmetry in rotors and bearings are discussed. Solution methods for the vibration analysis of uniform rotor systems is various boundary conditions are also provided.
The modal characteristics of forward and backward precesion modes of the continuous rotor systems having the asymmetry in rotors or bearings are clarified. The mode shapes of anisotropic rotor systems are composed of the mode shapes of the two different isotropic rotors, one rotating in the specified direction and another in the opposite direction, respectively. The relative magnitude and angular positions of the mode shapes associated with the two coupled isotropic rotors determine the precession direction of anisotropic rotor systems. As the asymmetry in bearings varies, the relative magnitude of the mode shapes associated with the two coupled isotropic rotors also varies.
The forward and backward precession modes of asymmetrical rotor systems are clarified. The mode shapes of asymmetrical rotor systems are composed of the mode shape components of the neighboring modes. The relative magitude and angular positions of the mode shape components associated with the two neighboring modes determine the precession direction of asymmetrical rotor systems. As the asymmetry in rotors varies, the relative magnitude of the mode shape components of the neighboring modes also varies. The dynamic behaviors in the instability regions bounded by the neighboring critical speeds of asymmetrical rotor systems are discussed.
Forward (backward) whirls occur in the forward (backward) precession modes of anisotropic and asymmetrical rotor systems regardless of excitation direction. The response amplitude of the forward (backward) precession modes to forward (backward) excitation is greater than that to backward (forward) excitation. The dynamic properties inherent to isotropic rotor systems are clarified in a rigorous way as a limiting case of anisotropic and asymmetrical rotor systems.
The curve veering in the eigenvalue problem of the rotor-bearing system is shown by obtaining the exact solutions of continuous rotor models. When the curve veering in the eigenvalue problem of asymmetrical rotor system occurs, the abrupt but continuous changes of mode shapes are explained by examining the relative magnitude of the mode shape components associated with the two neighboring modes.
When the rotor system has asymmetries both in rotor and bearings, periodically varying coefficients appear in system equations. Using the developed finite element model for the general asymmetrical rotor systems which consist of rigid disks, shaft elements with distributed mass and elasticity, and discrete bearings the equations of motion of the general asymmetrical rotors supported in anisotropic bearings are obtained. The Harmonic Balance Method is applied to solve the approximate synchronousand double frequency vibrations. It is shown that the instability regions of the rotor systems exist near both the major critical speeds of forward and backward precession modes.
회전체계는 보통 회전체와 베어링, 축받이(Pedestal)와 기초 (Foundation) 등으로 구성되어있다. 대부분의 회전체는 축대칭이지만 종종 축대칭이 아닌 경우도 있다. 대표적인 예가 2극 발전기 (twopole generator)이다. 베어링은 간혹 등방성(isotropic)인 것도 있지만 대부분 비등방성(anisotropic)이다. 회전체에 있어서 비대칭성과 베어링에 있어서 비등방성은 회전체 동특성에 많은 영향을 준다.
최근 회전체의 설계에 있어서 운전 효율을 높이고 비용을 줄이기 위해서 가능한 회전체 무게를 줄이고 작동 속도를 높이려 한다. 따라서 회전체의 유연성이 커져, 회전 관성과 자이로 모멘트등을 무시하여 해석할 수 없게 되었다.
회전체의 진동을 해석하는 방법은 모델링 방법에 따라 유한요소법과 같은 이산법 (discretization method)과 회전체를 분산 변수계 (distributed parameter system)로 다루는 해석적 방법 (analytic method) 으로 나눈다. 회전체를 해석적 방법으로 다루려는 시도는 이전부터 있어 왔지만 취급했던 대부분의 모델은 기하학적 경계 (geometric boundary condition)을 가진 Euler-Bernoulli beam 같은 간단한 회전체에 제한되었다. 회전체의 동특성을 나타내는 모우드 변수를 구하는 모우드 해석이 회전관성, 자이로 모멘트등을 고려한 연속 회전체계 (continous rotor system)에 적용이 어려운 이유는 자이로 모멘트로 인하여 non-self-adjoint 고유치 문제가 되기 때문이다.
본 논문에서는 회전 관성과 자이로 모멘트를 고려한, 임의의 베어링과 강성 원판(rigid disk)를 가진 연속 비등방(anisotropic) 그리고 비대칭(asymmetrical) 연속회전체계(continuous rotor system) 의 운동 방정식과 일반적인 경계조건을 구하였다. 운동 방정식과 고유치를 포함한 경계조건을 state space에서 나타내어 표준 non-self-adjoint 고유치 문제로 만들어 모우드 해석을 하였다. 균일 단면을 가진 연속 비등방 그리고 비대칭 회전체계의 해석법을 제시하였다. 그리고 회전체와 베어링에서의 비대칭성이 선회속도 (whirl speed), 모우드 모양(mode shape), 강제진동 그리고 안정성에 미치는 영향을 구하였고 또 물리적인 의미를 설명 하였다.
비등방 그리고 비대칭 회전체의 모우드 모양은 두개의 주기방정식 (frequency equation)으로 부터 만들어진다. 비등방 회전체의 2개의 주기방정식은 전방과 후방으로 각각 회전하는 등방회전체(isotropic rotors)의 주기방정식과 동일하다. 비대칭 회전체의 2개의 주기 방정식은 인접한 2개 모우드에 관계한다. 2개의 주기 방정식으로 부터 나온 모우드 모양의 상대적 크기와 각 위치(angular position)에 따라서 회전체 세차운동의 방향이 결정된다. 회전체 역학에서는 가진력의 주기와 크기도 중요하지만 방향도 중요하다. 가진력의 방향에 따라 강제 진동 크기(forced response amplitude)의 변화를 검토하였다.
회전체의 고유치 문제에서의 Curve Veering 현상을 보이고 급격한 그러나 연속적인 모우드 모양의 변화를 보였다. 2개 주기 방정식의 모우드 모양의 상대적 크기를 검토하여 Curve Veering의 특징을 설명 하였다.
회전체의 비대칭성과 베어링에서의 비등방성이 함께 고려될때 회전체계는 변수 가진계(parameteric excited system)가 되어 정해 (closed form solution)가 존재하지 않는다. 일반적인 비대칭 회전체가 비등방 베어링에 지지되어 있을때 유한요소법에 의해 운동방정식을 구하고 Harmonic Balance Method를 사용하여 근사 동조 및 2배 진동의 해(approximate synchronous and double frequency solution)을 구하였다. 그리고 전방과 후방모우드의 임계속도부근에서 불안정 영역이 존재함을 보였다.
비대칭 회전체의 모우드 발란싱 이론은 모우드 해석의 어려움으로 인해 간단한 회전체에만 국한 되어있다. 본 논문에서 개발된 일반적 비대칭 회전체의 모우드 해석을 이용하여 모우드 발란싱 이론을 제시하였다.
