A method is suggested about how to apply the singularity theory not to steady state equation but to the static bifurcation for finding the maximum number of possible steady states of lumped parameter system. Since the static bifurcation occurs when the Jacobian determinant vanishes at the steady states, the singularity theory is applied to the Jacobian determinant. This scheme is applied to the system of the stirred tank reactor with two first order consecutive reactions when the two reaction rate constants are equal. From the results of this analysis, the cusp singularity is obtained for the equation which represents the static bifurcation (especially, the turning point bifurcation). In the neighborhood of this singularity, six different shapes of stable bifurcation diagrams and three unstable transition bifurcation diagrams are obtained. These results are verified by the eight possible different types of bifurcation diagrams for steady states. This new scheme has advantages that the order of singularity is reduced by one and the stability of steady states can be noticed at the first glance through the diagrams.
When the two reaction rate constants are not equal, the existence of fifth order singularity is confirmed. One singular point of the fifth order is found. Unfortunately, this point is physically beyond the feasible region but the most part of its neighborhood belongs to the feasible region since it is close to the boundary of feasible region. From the analysis for these proper regions, it is found that the parameter space is divided into the regions with different bifurcation diagrams and has the natures of butterfly catastrophe.
For the Hopf bifurcation, a new scheme is proposed that the singularity theory can be applied to the Hopf bifurcation theory for finding the multiple Hopf bifurcation points. When the two reaction rates are equal, the two third order swallow-tail catastrophes are obtained. As the combined results from two new schemes (for the static bifurcation and for the Hopf bifurcation) it is found that the parameter space is divided into the regions having the different number of turning points and the different number of Hopf bifurcation points. Total thirty four bifurcation diagrams having the different dynamic features are obtained and some ranges of the Damkohler number in these diagrams give total seventeen different behaviors of the phase plane trajectories for some ranges of Damkohler number. And finally, for the purpose of the verification of limit cycles and asymptotically stable steady states, six different time vs. reaction rates diagrams are submitted. These diagrams show the relative behaviors of two reaction rates varying with time. The first reaction varies more uniformly like sine waves than the second reaction. The second reaction show a widely varying oscillation. And the larger limit cycle which contains many steady states reveals more complicated oscillatory behaviors than the smaller one.
정상상태의 다중성과 밀접한 연관이 있는 정적 분기 현상이나 시간에 따라 주기적으로 변화하는 정상상태를 조사하는 호프 분기 현상을 특이 이론과 융합하여 서로 다른 갯수의 정상상태를 갖는 영역이나 서로 다른 분기도를 갖는 영역또는 서로 다른 시간에 따라 주기적으로 변화하는 정상상태를 갖는 영역을 매개변수 공간상에서 구분하는 새로운 방법을 제안하고 이러한 방법을 통해서 두개의 1차 반응이 계속적으로 일어나는 연속 교반 반응기 내에서 일어날 수 있는 모든 분기 현상을 분석하였다.
먼저 특이 이론을 정상상태 식이 아닌 정적 분기가 일어나는 점을 표시하는 식에 적용하는 새로운 방법을 제한하고 이 방법을 두 반응의 속도상수 값이 같은 계속 반응이 일어나는 연속 교반 반응기에 적용하여 첨점 특이점을 찾아내었다. 그런 다음 이 점 주변에서 일어날 수 있는 모든 섭동을 분석하여 여섯개의 서로 다른 분기도와 세개의 불안정한 전이 분기도를 얻었다. 이 정적 분기에 대한 분기도를 이용하여 모두 여덟개의 서로 다른 정상상태에 대한 분기도를 얻었다. 이 분기도는 천천히 변화하는 계의 한 매개변수의 변화에 따른 계의 정상상태의 행동양식을 예측하는데 이용될 수 있다. 이 새로운 분석 방법은 특이점의 차수를 1만큼 감소시키므로 계산하기가 편리하고 도표를 통해 정상상태의 안정성을 일목요연하게 한 눈에 판단할 수 있다는 큰장점을 가지고 있다. 또한 이러한 분석 방법에 의한 결과는 호프 분기 현상을 분석하는 데에도 그대로 이용된다.
두 반응의 속도 상수 값이 서로 같지 않은 경우에 대해서는 특이 이론을 사용하여 5차 특이점의 존재를 확인하였다. 한 개의 5차 특이점을 찾아냈으나 안타깝게도 이 점은 타당한 영역에 속하지 않았다. 그러나 이 점 주변의 대부분은 타당한 영역에 속하므로 이 적합한 부분에 대한 분석을 통해서 서로 다른 형태의 분기도를 갖는 영역으로 나뉘어 지면서 나비형 카타스트로프의 성질을 갖는 매개변수공간을 찾아 내었다.
호프 분기에 대해서는 서로 다른 갯수의 호프 분기점을갖는 영역을 찾기 위해서 특이 이론을 호프 분기 이론에 적용할 수 있다는 새로운 방법을 제시하고 이 방법을 통한 분석의 결과로 두 개의 3차 특이점인 제비 꼬리형 카타스트로가 얻어졌다. 이 결과를 앞에서 분석한 정적 분기에 대한 결과와 융합하여 서로 다른 갯수의 정적 분기점과 호프분기점을 갖는 영역 들을 매개변수 공간상에서 완전히 구분하였다. 이 결과로 총 34개의 서로 다른 동적 정상상태의 행동 양식을 표현하는 분기도를 얻었으며 이들 분기도 각각에 대해서 천천히 변화하는 한 매개변수의 범위를 구분하여 각각의 범위안에서 존재할 수 있는 총 17개의 서로다른 형태의 상추적도를 얻었다. 또한 이 상추적도의 종류에 따라 그 형태를 여섯개로 구분하여 시간에 따른 두반응 속도의 변화를 추적하여 극한 회로 현상의 존재를 증명하였다.
