This thesis is concerned with the efficient sequential estimation in continuous time branching processes and in multivariate counting processes.
Determining a sequential estimation scheme involves the problem of defining and then finding optimal stopping rules or sampling plans. A lower bound on the variance of an unbiased estimator is given by the (fixed time or sequential) Cram$\acute{e}$r-Rao type information inequality. If, under a sampling plan S, the equality is attained for an estimator f of a parametric function g = E(f), then S and f are said to be 'efficient' and g is said to be 'efficiently estimable'.
All efficient triples (S,f,g) in a continuous time branching process with immigration with split rate $λ_1$, immigration rate $λ_2$, offspring distribution [$p_{1j}$, $j≥0$, $j≠1$] and immigration distribution [$p_{2j}$, $j≥1$] are characterized: it is shown that only linear combinations of $λ_ip_{ij}$'s and ratios of linear combinations of $λ_i^{-1}$ and $λ_ip_{ij}$'s to the partial sums of $p_{ij}$'s, i = 1,2, are efficiently estimable when the offspring and immigration distributions are assumed to have finite supports. It is also shown that only the linear combinations of $μ_i^{-1}$ and $(λ_iμ_i)^{-1}$, the linear combinations of $λ _i$ and $λ _iμ_i$, and the linear combinations of $λ_i^{-1}$ and $μ_i$ are efficiently estimable when {$p_{ij}$} is of power series type, i = 1,2, where $μ_1$ and $μ_2$ are the offspring and immigration means, respectively. Applications to some simple models such as a birth process, a linear birth and death process with immigration and an M/M/∞queue are also discussed.
Efficient sequential estimation in a continuous time branching process without immigration is also considered. Because of the possibility of early, extinction, however, only conditional analysis is considered given either a large initial population or on the set of nonextinction.
All efficient triples in multivariate counting processes with intensity processes of the type $\wedge_{i}(t)=θ_iY_i(t)$, 1≤i≤k, are characterized, where $Y_i (t)$'s are observable stochastic processes: only linear combinations of $θ_i$'s or the ratios of linear combinations of $θ_i$'s to their partial sums are efficiently estimable when $Y_i$'s are all the same. When $θ_i$'s can be grouped into several parts within which $Y_i$'s are the same, the above functions are efficiently estimable if $θ_i$'s belong to the same group. A necessary condition is given for functions of parameters belonging to different groups to be efficiently estimable. Applications to some simple models such as Poisson processes, a finite state Markov process and a birth and death process are also given.
Inverse type sampling plans are widely used in efficient sequential estimating procedures. As an application, testing procedures for comparing two independent Poisson processes are proposed based on three inverse type sampling plans. The problem of comparing two nonhomogeneous Poisson processes is also considered.
추계적 과정은 그 이론은 물론 다른 학문 분야에로의 다양한 응용 가능성 때문에 많은 관심을 끌어왔다. 추계적 과정 모델을 현실에 응용하려면 대개의 경우 모수를 알고 있지 못하므로 샘플로부터 추정해야만한다. 분지과정과 계수과정을 포함한 추계적 과정에서의 모수추정에 관한 과거의 연구들은 대개 최우추정에 관한 것이었다. 최우추정치는 구하기가 비교적 쉬울뿐만 아니라 BAN 추정치라는 좋은 성질을 갖고 있다. 그러나 최우추정치는 많은 경우 불편추정치가 아니고 샘플의 크기가 커야 그 타당성이 보증되기 때문에, 샘플의 크기가 적을때에는 사용하기 곤란하다는 단점이 있다.
본 논문에서는 분지과정과 계수과정에서 샘플의 크기가 작을때에도 좋은 성질을 갖는 최소분산불편 추정치들을 다루었다. 일반적으로 샘플링 플랜이 결정되면 어떤 파라메트릭 함수의 불편 추정치의 분산은 크래머라오 하한 보다 크다는 것을 알수 있는데, 만일 어떤 불편 추정치의 분산이 이 하한과 일치하게 되면 이 추정치는 당연히 최소분산 불편 추정치가 된다. 이러한 추정치를 유효 추정치라고 부른다.
본 논문에서는 분지률 $λ_1$, 유입률 $λ_2$, 분지분포 ${P_{1j},j≥0}$, 유입분포 ${P_{2j}, j ≥1}$를 갖는 분지과정에서의 유효추정치들과 그들을 구할수 있는 샘플링 플랜들을 모두 구하였다. 유효추정 가능한 함수들은 $λ_iP_{ij}$의 선형결합과 또 $(λ_i^{-1}, P_{ij})$ 의 선형결합과 $P_{ij}$의 부분합의 비임을 보였다.
또 분지분포와 유입분포가 모수 $α_i$를 갖는 파워시리즈 형태인 경우에도 유효추정치들을 구하였으며, 이들을 이용하여 출생과정, 유입인자가 있는 출생과정, $M/M/∞$ 대기행렬에서도 유효추정치들을 구하였다.
본 논문에서는 또한 발생강도가 $\wedge_{i}(t)= θ_iY_i(t),θ_i$는 미지모수, $Y_i(t)$ 는 가측과정으로 표현되는 다차원 계수 과정에서 $θ$의 함수에 대한 유효추정치를 구하였다. 만일 $Y_i(t)$ 들이 모두 같은 경우에는 $θ_i$의 선형 결합이거나 선형결합과 부분합의 비만이 유효추정 가능함을 보였다. $Y_i$ 들이 다른 경우에는 $θ_i$ 들을 $Y_i$가 같은 부분으로 분류하여 같은 그룹에 속하는 $θ_i$ 의 선형결합 또는 선형결합과 부분합의 비가 유효추정 가능함을 보였고, 다른 그룹에 속하는 경우에는 유효추정 가능한 필요조건을 제시하였다. 이 결과들을 이용하여 포와슨과정, 마코프과정, 출생 사망과정들에서의 기존 연구결과들을 특수한 예로써 얻을수 있었다.
유효추정에서 사용되는 샘플링 방법은 대개 역 샘플링 플랜들인데, 본 논문에서는 이들을 이용하여 두개의 포와슨 과정이 같은가를 검정할수있는 검정절차를 제시하였다.
