Using the Monte Carlo method random walk on 2-dimensional Sierpinski gasket in the presence of an external field is studied. In the isotropic case the mean end-to-end distance satisfies the power law $R~t^k$ with the exponent k $\simeq$ 0.436, and the random walk motion of the particle for the rotationally anisotropic case also shows the same behavior as that for the isotropic case. In the uniaxially anisotropic case it is observed that the random walk motion of a particle displays a crossover from anomalous diffusion to drift for a non-zero bias field, and the crossover time $t_{cr}$ is a decreasing function of the external bias field. The associated dynamic exponents obtained in our computer experiment agree with the predictions of the Stinchcombe's scaling treatment.
In addition, the random walk on 2-dimensional directed diffusion-limited aggregation clusters (non-directed, weakly directed and rather strongly directed clusters) is studied. The fractal dimension($d_f=1.71$) and the spectral dimension($d_s=1.28$ or 1.16) have the same values for the three clusters. Therefore properties of the directed and non-directed fractal clusters are in the same universality class. However it seems that our results are inconsistent with the Alexander-Orbach conjecture($d_s=4/3$).
정규 프락탈의 하나인 2차원 Sierpinski gasket 위에서의 멋대로 걷기 문제를 몬테 카를로 방법을 이용하여 연구하였다. 외부장이 없는 등방 확산의 경우 임계지수 값이 $k \simeq 0.436$으로 이상 확산을 보이며 회전 이방성의 경우에도 등방 확산과 같은 임계지수를 갖는다. 한쪽방향으로 외부장이 걸려 있을 경우에는 입자가 $t_{cr}$보다 짧은 시간에는 확산 $(k \simeq 0.436)$을 하다가 $t_{cr}$ 이후에는 외부장에 따라 표류 $(k=1)$함을 보여주는데 이와 같은 결과들은 Stinchcombe의 축적이론을 사용한 논의와 일치한다. 또한 $t_{cr}$은 외부장의 세기에 대해 감소함을 알 수 있었다. 부가하여 diffusion-limited aggregation(DLA) 모형에 의한 2차원 cluster 위에서의 멋대로 걷기를 연구하였다. DLA 모형으로 cluster를 성장시킬 때 외부장을 걸어주었는데 그 세기가 각각 B=0, 0.1, 0.5인 3개의 cluster들을 고찰하였다. 세 cluster 모두 프락탈 차원은 $d_f \simeq 1.71$, 스펙트랄 차원은 $d_s \simeq 1.28$ 또는 1.16으로 같게 나왔다. 그러므로 DLA모형으로 만들어진 cluster는 fractal 구조를 가지며 외부장의 세기에 관계 없이 그 구조가 물리적으로 모두 같음을 알 수 있다. 그리고 스펙트랄 차원은 Alexander와 Orbach의 가설$(d_s=4/3)$와 정확히는 일치하지 않는 것으로 나타났다.
