When a linear model $y=X\beta+e$ is given, the orthogonal projection matrix $P_x = X(X'X)^-X'$ plays an important role in analyzing the linear model. The matrix $P_x$ can be obtained by computing the Moore-Penrose inverse of $X'X$. It is well known that the design matrix $X$ can be expressed as a product $X= TX_o$, where $T$ is a replication matrix and $X_o$ is the design matrix of the corresponding balanced model that contains only one observation in each cell. From this relation the Moore-Penrose inverse of $X'X$ can be derived using the nonzero eigenvalues of $X'_oX_o$ and the corresponding eigenvectors since $X'_oX_o$ is symmetric and positive semi-definite. The purpose of this thesis is to develop an efficient procedure for computing the orthogonal projection matrix of an unbalanced model without empty cell based on the corresponding balanced design matrix $X_o$ whether there are interactions or not.
We describe a explicit form of the orthogonal projection matrix of design matrix for a balanced model. This form is based on the spectral decomposition of $X'_oX_o$ for the corresponding balanced model. Also from the corresponding balanced design matrix $X_o$ we can easily find a concrete form of the orthogonal projection matrix for an unbalanced model. Let $Q_r\Lambda_rQ'_r=X'_oX_o$ be a spectral decomposition of $X'_oX_o$ where $\Lambda_r$ is a diagonal matrix of the nonzero eigenval ues of $X'_oX_o$ and $Q_r$ is a matrix whose columns are standardized eigenvectors corresponding to the nonzero eigenvalues. Also letting $Z=X_oQ_r\Lambda_r^{-1/2}$ gives $P_{X_o}=ZZ'$ and $P_X=TZ(Z'DZ)^{-1}Z'T'$, where $D$ is a diagonal matrix of cell frequencies and $D=T'T$.
It is sufficient to compute the matrix $Z$ in order to obtain the orthogonal projection matrix of a given unbalanced model. As well, the matrix $Z$ can be obtained by the regular rule that depends on only the number of levels of main factors whether there are interactions or not. This fact is one of the main results of this thesis in the sense that the design matrix and its Moore-Penrose inverse are not required to obtain the orthogonal projection matrix. In addition, as various applications using the results of this thesis, for example, the reduction sum of squares, the general hypothesis testing, and the generalized least squares method are introduced. Related to the above subjects, a simple method for computing the important statistics is described.
선형모형이 $y = X\beta+e$와 같이 주어져 있을 때 직교사영행렬(orthogonal projection matrix) $P_X=X(X'X)^-X'$는 그 모형을 분석하는데 있어서 아주 중요한 역할을 한다. 또한 직교사영행렬 $P_X$는 $X'X$의 어떤 일반화 역행렬에 대해서 도 유일하다. 따라서 $X'X$의 Moore-Penrose 역행렬을 함으로써 그 직교사영 행렬을 얻을 수 있다. 위의 선형모형에서 그 모형의 모형행렬 $X$는 $X=TX_o$ 와 같은 수식으로 나타낼 수 있는데, 여기서 행렬 $T$는 각 칸의 관측치의 수를 나타내는 행렬이고, $X_o$는 각 칸의 관측치가 단 하나만으로 구성되는 주어진 모형에 대응하는 균형모형의 모형행렬이다. 이 관계식으로부터 $X'X$ 의 Moore-Penrose 역행렬은 $X_o'X_o$의 영아닌 고유치들과 그에 대응하는 고유 벡터들로부터 쉽게 얻어질 수 있다. 왜냐하면 행렬 $X_o'X_o$이 대칭이고 양정 치행렬이기 때문이다. 본 논문의 목적은 주어진 불균형모형이 교호작용을 가지는 것에 상관없이 대응하는 균형모형의 모형행렬 $X_o$에 기초하여 그 불균형모형의 직교사영행렬을 효율적으로 계산하는 알고리즘을 개발하는데 있다.
먼저 균형모형의 모형행렬에 대한 직교사영행렬의 일반형을 제시한다. 이 일반형은 대응하는 균형모형에 대한 $X_o'X_o$의 spectral decomposition에 의한 것이다. 또한 모형행렬 $X_o$로부터 불균형모형에 대한 직교사영행렬의 구체적인 형태를 쉽게 찾을 수 있다. $Q_r\Lambda_rQ_r'$를 $X_o'X_o$의 spectral decomposition 이라 하자. 여기서 $\Lambda_r$은 $X_o'X_o$의 영아닌 고유치들을 대각원소로 갖는 대각행렬이고 $Q_r$은 그 고유치들에 대응하는 정직교 고유벡터를 영벡터로 가지 는 행렬이다. 또한 $Z=X_oQ_r\Lambda_r^{-1/2}$라 놓으면 $P_{X_o}=ZZ'$이고 $P_X=TZ(Z'DZ)^{-1}Z'T'$이다. 여기서 행렬 $D=TT$는 각 칸의 관측치 수를 대각원소로 갖는 대각행렬이다.
위의 행렬 $Z$는 규칙적인 루울에 의해 찾아질 수 있으므로 $P_{X_o}$와 $P_X$를 쉽게 구할 수가 있다. 왜냐하면 $X_o'X_o$의 영아닌 고유치들과 그에 대응하는 고유벡터들은 주어진 모형이 교호작용을 가지는 것에 상관없이 주요인들의 수준의 수만으로 찾아질 수 있기 때문이다. 따라서 행렬 $Z$와 $K=Z'DZ$의 역행렬을 구함으로써 주어진 불균형모형의 직교사영행렬을 쉽게 구할 수가 있다. 직교사영행렬을 구하는데 모형행렬과 그 Moore-Penrose역행렬이 필요하지 않다는 이 사실은 아주 중요한 결과이다. 아울러 본 논문의 결과를 이용하는 실제응용례로서 모형을 분석하는데 필요한 제곱합, 일반적인 가설검정 그리고 일반화 최소제곱문제들에 있어서 중요한 통계량을 구할 수 있는 간단한 계산방법을 제시한다.
