The heat flow during circumferential welding of a small diameter aluminum pipe, which cannot be assumed to be in the quasi-stationary state because of the heat accumulation, was analyzed by employing a semi-analytical finite element method. The circumferential distributions of the arc heat flux and the temperature were simulated in the forms of an expanded series to calculate the 3-dimensional heat flow with a 2-dimensional solution domain. The arc heat distribution, assumed as a Gaussian form, was expressed in several circumferential line heat sources by using the Fourier series expansion. The solution domain was divided into two subdomains to apply the two types of series with two different numbers of the expanding term, which results in the reduction of the calculation time.
The thermal cycles and isotherms in the r-z plane calculated by using the proposed semi-analytical finite element method agreed fairly well with the experimental results adopted from a reference. Due to the heat build-up the fusion zone increases in its size as the welding proceeds. The temperature near the heat source rises also as the welding proceeds, but the shape of the circumferential temperature distribution of a ring element was maintained almost unchanged during the entire welding process except for the welding start. Both the increment of the fusion zone and the rise of the temperature were chiefly caused by the rise of the coefficient of constant terms in series for the temperature distribution.
The proposed semi-analytical finite element method could be considered as very useful for analyzing the heat flow in circumferential welding of small diameter pipes because of its simple formulation and short computing time.
When the material properties are dependent on the temperature in the circumferential welding of a pipe, the orthogonality in integration of harmonics may not be obtained in the formulation of the semi-analytical finite element method for the heat flow analysis.
When the axis of the $\theta$-directional coordinate was located on the center of the arc on each time step, the change of coefficients of each harmonic becomes small between time steps, and then the triangular submatrices could be transformed to loading vector terms as multiplied by the temperatures calculated in the previous time step. The functions of the 3-ordered equation were used in calculations to simulate the variations of thermal properties. The ring elements in the solution domain were divided into two groups with the respective functions of the different thermal conductivity to reduce the zone governed by relatively rough-assumed function.
The heat flow was chiefly governed by diagonal submatrices compared with triangular submatrices in the global matrix. The peak temperature calculated by considering the temperature dependency of the thermal properties was rather higher than those of constant thermal properties because of relative low thermal conductivity in the weld pool. The weld pool calculated by considering the temperature dependency was almost identical with those of using constant thermal properties and the experimental results of Kou and Le. These results also could be obtained and verified by using the 3-dimensional finite difference method. The constant thermal conductivity may be considered to contain the effect of convection in the weld pool in this case. In a aluminum pipe welding, the calculation of the heat flow using constant material properties was verified to be acceptable in case of expecting the weld pool profile. Then, the orthogonality in the integration of a product of harmonics can be obtained in formulation of the semi-analytical finite element method, which makes the global matrix uncoupled, by the assumed constant material properties.
When the aluminum pipe is circumferentially welded with the constant welding condition, the weld bead width and depth increase gradually along the welding direction. The welding condition should be optimized to maintain the uniform molten pool geometries during the entire circumferential welding process. In this study, the heat flow was analyzed in a 2-dimensional domain by using the semi-analyical finite element method, and the optimum welding conditions were obtained by using the steepest descent method. As welding parameters, the weld velocity, the radius of the heat source and the heat input were adopted.
In the present optimization which uses the semi-analytical finite element method, the objective function could be calculated with the required diagonal submatrices by locating the axis of the $\theta$-directional coordinate to coincide with the center of the arc on each time step. The optimum sequence patterns of welding parameters were calculated in some cases, and the experiments were performed to compare with the calculated results. The measured weld pool boundaries are good agreement with those of calculations.
The insufficiently optimized area at the beginning of welding could be reoptimized by overlap welding in the second turn of the pipe welding with less number of the iteration. Three process parameters were optimized at the beginning of welding to get the initial proper values for the required weld pool geometry, and then only the heat input was optimized to reduce the controllable parameter which is easily applicable to the conventional welding machine. The steepest descent optimization method used in this study was very effective to obtain the required uniform weld pool geometry, because the temperature gradient around the weld pool is very steep.
준정상 상태로 가정할 수 없는 작은 직경의 알루미늄 파이프에 대한 원주 방향 용접 열유동 현상을 semi-analytical 유한요소법을 적용하여 해석하였다. 이와 같은 유한요소법에 사용하기위해 열원 밀도분포 및 용접물의 온도분포를 원주방향의 주기함수(harmonic function) 형태로 전개시켜 사용하였으며, 3차원 열유동을 2차원 해석영역에서 계산하였다. 용접열원의 Gaussian 밀도분포를 나타내기위해 열원이 몇개의 선열원으로 구성되어 있는 것으로 가정한 후 각각의 선 열원에 대하여 Fourier 급수로 전개하였다.
해석영역은 계산시간을 줄이기 위해 2 부분으로 나누어 사용하였는데, 용융부 근처와 같이 급격한 온도분포를 갖는 영역에서는 많은 전개 항을 갖는 급수로 전개하였으며, 용융부에서 떨어진 부위는 완만한 온도분포를 나타내므로 적은 전개항으로서도 충분히 만족할 수 있었다.
Semi-analytical 유한요소법을 이용한 열유동 해석 결과, 시간에 따른 온도 변화곡선 및 r-z 단면에서의 온도분포의 형태등은 참고자료로 사용한 Kou 와 Le의 실험 결과 및 3 차원 유한차분법의 해석 결과와 잘 일치 하였다. 열유동 해석 결과 용접이 진행될수록 열의 축적에 의해 용융부의 크기가 점점 커지며, 용융부의 최고온도 역시 증가하고 있었다. 원주방향의 온도분포는 용접 시작 부분을 제외하고는 일정한 형태를 유지하고 있었으며 용접 진행에 따른 온도의 증가는 원주방향의 평균온도, 즉 상수 전개항의 계수 값의 증가가 크게 기여하고 있었다.
본 논문에서 사용된 semi-analytical 유한요소법은 해석대상의 형태 및 물성이 축대칭이고 loading 항이 축대칭이 아닌 경우에 주로 사용된다. 주기함수로 가정된 두개의 함수 곱에 대한 적분시 직교성(orthogonality) 에 의해 diagonal matrix들만 남게 되어 각 전개항에 대하여 독립적으로 계산할 수 있는 특성을 갖게 된다.
용접 열유동의 경우 온도가 매우 높게 상승하여 온도에 대한 물성 변화의 영향을 무시할 수 없다. 온도에 대한 물성의 변화에 의해 파이프 원주방향으로 물성의 분포가 결정 되며, 따라서 적분시 직교성을 잃어버리게 되어 용접물 전체에 대한 global matrix 는 triangular submatrix들을 갖게 되며 따라서 global matrix 전체에 대하여 연립방정식을 풀어야 한다. 본 논문에서는 이에 대하여 해석방법의 특성 및 물성의 특성을 고려하여 계산과정을 줄이고자 하였다.
열전도 계수 및 비열은 용융 후 온도에 따라 큰 변화를 보이지 않는다. 따라서 온도해석에 사용된 물성에 대하여, 급수의 필요한 전개항의 갯수는 온도의 경우에 비해 적은 갯수로 나타낼 수 있었다. 본 논문에서는 물성을 온도에 대한 3차 함수로 가정하여 원주방향에 대한 분포를 급수 전개하였는데, 이때 상수항 계수에 해당하는 물성치가 나머지 전개항들에 비해 월등히 크며, 따라서 주로 상수항의 영향이 큰 diagonal submatrix 들에 의해 열유동 양상이 주로 결정되어진다.
Triangular submatrix 의 영향을 고려하기위해, 즉 원주방향으로의 물성 분포의 영향을 고려하기위해, 매 계산 단계마다 좌표 중심이 열원중심에 위치하도록 급수를 이루고 있는 각각의 조화함수들의 상(phase)을 이동시켜 계산 단계 사이에서의 각 항의 계수 변화, 즉 온도의 변화를 작게하므로써 triangular submatrix 들을 loading 항으로 변환시켜 계산하였다. 3차 함수로 가정된 물성은 전 온도구간을 통하여 온도에 따른 물성의 변화와 완벽하게 일치되기는 어렵다. 따라서 해석영역의 환형의 삼각형 요소들을 2 종류로 나누어 각각에 대하여 좀더 실제 물성분포에 접근시킬 수 있는 함수를 각각 적용하여 계산하였다.
열전도계수가 $\theta$방향으로 분포되어 있는 경우로 계산한 결과, 일정한 상수 값의 물성을 적용시키는 경우나 Kou의 실험 결과와 거의 비슷한 용융부를 얻었으며, 또한 용융부의 낮은 열전도도에 의해 용융부의 최고온도가 적은 양이지만 높아지는 것을 알 수 있었다. 즉 용융상태의 열전도 계수의 약 1.4배의 effective 열전도 계수의 증가는 용융부의 크기 변화에 거의 영향을 주지 못하고 있었다. 따라서 Al-6061 알루미늄 파이프 용접의 경우 제시한 일정 상수 값의 물성으로 계산하여도 온도에 따른 물성변화를 고려한 계산 결과와 잘 맞고 있는 것을 확인할 수 있었다. 또한, 이와 같은 결과는 파이프의 원주방향 용접의 열유동 해석에 사용된 3차원 유한 차분법을 사용하여 계산한 결과와도 잘 일치하고 있었다. 이 결과는 semi-analytical 유한 요소법을 이용한 알루미늄 파이프의 열유동 해석에 있어서 global matrix 가 uncouple 되어 각 각의 submatrix 로서 독립적으로 계산을 수행할 수 있다는 점에서 매우 중요하다.
용접이 진행되면서 용융부가 커지는 현상은 용접 결과 바람직하지 못하며 따라서 원주 방향에 대하여 일정한 용융부를 얻기 위한 용접 변수의 조절이 필요하다. semi-analytical 유한요소법을 이용한 열유동 해석과 최적화를 위한 steepest descent 방법을 사용하여 원하는 용융부를 용접 방향에 대하여 일정히 유지하기위한 용접속도, 용접열량, 용접 열원반경의 변화를 계산하였다. 유한요소법을 이용한 최적화 과정 중 매 해석 단계 마다 용접 열원 중심에 $\theta$ 방향의 좌표축을 위치시킴으로써 간단한 형태의 objective 함수를 정의 하여 계산 하였다. 여러 용접 경우에 대하여 용접 변수들의 최적값 변화를 계산하였으며, 이값을 이용하여 실험을 수행하였다. 실험 결과 얻은 용융부는 계산 결과와 어느정도 일치하고 있었다. 이와 같은 결과로부터 용접초기에는 필요한 용융부를 얻기 위한 초기의 용접속도, 용접열량과 용접열원의 크기를 결정하고, 이를 초기 값으로 하여 최적화 하는 과정을 제시하였다. 최적화 과정은 초기의 용접 조건이 어느 정도 결정되면, 용접 변수 중 조절하기 쉬운 용접 입열량의 변화만으로도 충분히 만족시킬 수 있었으며, 용접초기 부분은 파이프의 다음 회전시 중첩 용접하는 것으로 가정하여 해석하는 것이 해석시간을 줄일 수 있었다. 계산 과정을 통해, 논문에 사용된 steepest descent 방법은 최적값 접근 특성에 의해 용접부와 같이 급격한 온도 분포를 갖는 경우에 매우 바람직 한 것으로 생각되었다.
