The vibration and stability of center-clamped annular plates are much of interest to designers in the past. Recently the problems associated with outer-clamped thin annular plates have attracted the attention of researchers in the course of investigating the dynamic characteristics of structures such as a wafer cutting machine. Unlike the center-clamped disks, centrifugal force due to rotation tends to make the outer-clamped disks unstable. In addition, thin disks may experience large deflection due to relatively small bending stiffness. To overcome such problems, uniform in-plane tension, which can stabilize or strengthen thin annular plates during rotation, is normally required. However, in the process of imposing uniform in-plane tension on a thin annular plate, undesired nonuniform in-plane force is likely to be accompanied in practice. Nonuniform in-plane force may make the plate unstable and induce the inaccuracies in cutting process. Thus the check of uniformity in in-plane force is required for the good installation of thin annular plates before initial operation and for the estimation of looseness after a long period of operation.
Vibration analysis for outer-clamped annular plates under arbitrary in-plane force is formulated to investigate the influence of in-plane force on transverse vibration of the plates. The arbitrary in-plane force along the outer edge of an annular plate is expressed as Fourier series, and, the perturbation and Galerkin's methods are employed to obtain modal parameters and responses. In particular, it is shown that the perturbation method not only reduces the computational effort but allows clear physical insight into the effect of uniform and nonuniform in-plane force on the modal parameters of an annular plate. Through numerical examples, both methods are compared, and the effectiveness of the perturbation method is discussed.
During numerical simulations, particular phenomenon, so-called curve veering, was found in eigenvalue problem. Thus, the existence of curve veering in an annular plate subject to nonuniform in-plane force is qualitatively validated in continuous model by using the perturbation method. In addition, the phenomenon is quantitatively examined, in outer-clamped annular plate under in-plane force, by using the perturbation method.
Identification methods by using modal parameters are developed for estimating in-plane force in outer-clamped annular plates. The methods feature that Galerkin's method is employed in conjunction with least squares methods with equation, output and modified output error forms. The methods are essentially based on the facts that modal parameters are sensitive to variation in in-plane force, and that in-plane force distribution can be well approximated by a truncated Fourier series, retaining a few low order components. Numerical simulations are performed to investigate and compare the effectiveness of identification methods.
Among the developed identification methods, the least squares method with modified output error form is implemented to the laboratory set-up resembling in-situ wafer cutting machine. By using modal parameters obtained from experimental modal tests, in-plane force is identified within a few low components of Fourier series. The natural frequencies and mode shapes are utilized for estimating uniform and nonuniform in-plane forces, respectively. In order to evaluate the identification results, the in-plane force is also estimated from strain measurement by strain gauges. Both experiments, that is, modal test and strain measurement, are conducted in the outer-clamped annular plates with four different levels of in-plane force.
기계구조물에서 흔히 사용되고 있는 중심고정 원판의 횡방향 진동 및 안정성에 대해서는 지금까지 많은 연구를 해왔다. 그러나 최근에는 반도체 제조에 관련된 웨이프 가공기를 연구하면서 외주고정 원판에 대한 연구도 상당히 진행되고 있다. 웨이프 가공기에서와 같이 비싼 원자재를 절단시는 경제성관점에서 소모되는 절삭량이 중요하므로 원판이 얇을수록 유리하다. 그러나 원판이 얇아지면 동적변위가 커지고, 이로 인해 가공정밀도가 저하되므로 추가 강성이 필요하다. 그 뿐만 아니라 외주고정 원판인 경우는 중심고정 원판경우와는 달리 회전으로 인한 원심력이 강성을 저하시키므로 추가강성이 더욱 필요하다. 그래서 얇은 외주고정 원판인 경우는 일반적으로 균일한 평면장력 (uniform in-plane tension)을 부가하는데, 실제적으로는 관련장비의 한계 때문에 균일하게 부가하는 것은 어렵다. 이 때 발생하는 불균일 평면력(uniform in-plane force)은 가공성을 저하시키므로, 이것을 되도록 줄이기 위해서는 평면력 부가중에 균일정도를 파악할 수 있는 점검방법이 절실히 요구되는 상황이다.
본논문에서는 균일 및 불균일 평면력이 외주고정 환형판의 동특성에 미치는 영향을 살펴보기 위하여 임의의 평면력을 받는 외주고정 환형판의 진동해석 모델을 수립하고, 평면력 상태를 파악하기 위하여 모우드 매개변수를 이용한 규명방법을 개발하였다.
진동해석 모델에서 고려된 임의의 평면력은 Fourier 급수함수로 표현하였고, Galerkin 방법과 섭동법( perturbation method )을 이용하여 해석하였다. 두 방법을 통하여 동특성에 미치는 평면력 효과를 정량적으로 조사하고, 특히 섭동법을 이용하여 정성적으로도 효과를 살펴보았다. 실제 발생할 수 있는 평면력영역에서는 정성적 예측과 정량적 수치결과가 잘 일치하고 있고, 두 해석방법의 정량적 수치결과도 서로 잘 일치하고 있다.
또한 구조물의 매개변수를 변화할 때 고유진동수 변화의 특이한 현상인 curve veering 현상을 발견하고, 섭동법을 이용하여 정성적으로 그 현상의 존재함을 증명하였다. 또한 Galerkin방법을 통하여 수치적으로 그 현상을 보여주고 curve veering 현상증에 일어나는 모우드 형상의 급격한 변화도 보여주었다.
모우드 매개변수를 이용한 규명방법들을 개발하고 수치 및 실험모델에서 그 방법들의 효율성을 조사하였다. Galerkin 방법으로 수학적 모델을 만들고, 연속함수인 평면력함수는 유한개의 Fourier급수함수로 표현하였다. 또한 규명 방법은 식오차( equation error ), 출력오차( output error ) 및 수정출력오차 ( modified output error ) 형태들을 가진 최소자승오차법을 이용하였다. 측정오차가 있는 모우드 매개변수을 이용하여 수치모델에서 규명방법들의 정확성을 비교한 결과, 수정출력오차 형태를 가진 규명방법이 제일 좋았다. 그래서 이 방법을 실험모델에도 적용시켜 임의의 평면력을 구하였다. 이 때 사용된 모우드 매개변수는 모우드시험을 통하여 구했고 이 방법의 결과를 확인하기 위하여 스트레인게이지( strain gauge )로 응력을 측정하여 동일한 상황에서의 평면력을 구하였다. 두 결과는 거의 비슷하였으므로 본논문에서 개발한 규명방법은 실제적으로도 이용될 수 있음을 확인하였다. 그리고 여기서 제안된 해석 및 규명방법은 다른 모양을 가진 판에서도 응용될 수 있다고 기대된다.
