In a study of orthogonal polynomials, the orthogonality relation of orthogonal polynominals given by the intergal with respect to a weight function can de extended to the formal orthognality relation with respect to a linear functional on space of polynominals (we call it a moment functional) and it has many advantages. For example, we need not specify the orthogonality interval and can replace the recurrence relations expressed in terms of moments by the simple relations for orthogonalizing functionals through the formal operations of the derivative or the multiplication by polynomials on linear functionals.
In Chapter 1, we provided a topological structure on the space of polynomial so that a moment functional might act continuously on it and found a topological function space containing polynomials on which the formal δ-series expansion of a moment functional could act continuously.
In Chapter 2, we studied the concept of quasi-orthogonality and semiclassical orthogonal polynomials and used moment functionals to obtain several characterizations for semiclassical orthogonal polynomials. In particular, we showed that if orthogonal polynomials $\{P_n(x)\}_0^\infty$ satisfy a differential equation of the from (we call it a Bochner-Krall differential equation of order 2r) $\Sigma_{i=0}^{2r} \ell_i(x)y(i)(x) = \lambda_ny(x)$ where all the $\ell_i(x)'$s are polynomials of degree less then or equal to i and do not depend on n, then they are always semiclassical.
In Chapter 3, we used moment functionals to unify the proof of characterization theorems for classical orthogonal polynomials which are discussed separately and obtain a characterization for orthogonal polynomials satisfying a Bochner-Krall differential equation of order 4. This an extension of Hahn's Theorem which states that if both ${P_n(x)}_0^\infty$ and $\{P'_n(x)\}_1^\infty$ are orthogonal polynomials, they must be classical orthogonal polynomials.
In Chapter 4, we considered Koornwinder's generalized Jacobi polynomials $\{P_n^{\alpha,\beta,M,N}(x)\}_0^\infty(\alpha,\beta> -1$and $M,N\ge 0)$ and gave Bochner-Krall differential equations of order 2α+4 for α=β=0,1,2,3, and M = N > 0 and gave a conjecture on coefficients and the order of linear ordinary differential equation satisfied by ${P_n^{\alpha,\alpha,M,M}(x)}_0^\infty$ for the general case. In addition, we gave a Rodrigues' type formula and a generating function for ${P_n^{\alpha,\alpha,M,M}(x)}_0^\infty$ with α a nonnegative integer.
직교 다항식의 연구에서 가중치 함수에 대한 적분으로 주어지는 다항식의 직교성은 다항식 공간상의 범함수에 대한 형식적 직교성으로 확장될 수 있고 이것은 여러 가지 장점이 있다. 예를 들면 직교 구간을 명시할 필요가 없을 뿐 아니라 모멘트들로 표현되는 순환 관계식을 범함수의 미분이나 다항식 곱 등의 형식적 연산을 통해서 간단하게 표현할 수 있다. A.M.Krall과 R.D.Morton에 의해 도입된 범함수의 형식적 델타급수 전개는 모든 직교 다항식의 형식적 직교성를 주지만 그것이 연속으로 작용할 수 있는 다항식을 포함한 함수 공간에 대해서는 잘 알려져 있지 않다.
1장에서는 범함수가 연속으로 작용하도록 다항식 공간상에 위상구조를 주고 범함수의 형식적 델타 급수 전개가 연속으로 작용할 수 있는 위상 함수 공간을 찾았다.
2장에서는 의사 직교성과 준고전 직교다항식을 소개하고 범함수를 이용하여 준 고전 직교 다항식의 여러 가지 식별법을 구하였다. 특히 0차 도함수의 계수를 제외한 모든 다항식 계수가 n 에 의존하지 않는 N계 선형 상미분 방정식(N계 Bochner-Krall미분방정식)의 해로써 나타나는 모든 직교 다항식은 준고전 직교 다항식임을 보였다.
3장에서는 범함수를 이용하여 개별적으로 증명된 고전 직교다항식의 여러 가지 식별법을 통일된 방법으로 다루고 4계 Bochner-Krall 미분 방정식의 해로서 나타나는 모든 직교다항식의 식별법을 얻었다. 이것은 "다항식과 그것들의 도함수가 모두 직교다항식이면 고전 직교 다항식이어야 한다"는 W.Hahn의 정리의 확장이다.
4장에서는 Koomwinder의 일반화된 Jacobi 다항식 $\{P_n^{\alpha,\beta,M,N}(x)\}_0^\infty (\alpha,\beta,>-1,M,N\ge 0)$에 대하여 α=β=0,1,2,3이고 M=N>0 일 때 $\{P_n^{\alpha,\beta,M,N}(x)}_0^\infty$이 만족하는 (2α+4)계의 Bochner-Krall 미분방정식을 제시하고 α=β, M=N 인 경우에 선형 상미분 방정식의 다항식 계수와 차수에 대한 추정을 주었다. 또한 α가 음아닌 정수일때 $\{P_n^{\alpha,\beta,M,N}(x)\}_0^\infty$에 대한 Rodrigues 공식을 주고 생성함수를 구하였다.
