The Bessel type polynomials considered are orthogonal with respect to the weight function obtained from the Bessel weight function on R by adding a scalar multiple of the Dirac delta function at 0. Since Bessel type orthogonal polynomial sequence (OPS) is semi-classical, its weight function ω satisfies
(σ(x)ω)'-τ(x)ω=g(x)
where σ(x), τ(x) are some polynomials and g(x) have 0-moments. We can get the real weight function of Bessel type OPS by solving non-homogeneous weight equation.
일반화 된 Bessel 다항식의 가중치 함수(weight function)에 관한 식
$x^2s'(x)$ - (ax+2)s(x)=0 a≠ -2, -3, …
의 고전적인 해(classical solution) $v_a(x)$에 대하여 a=-1, 0, 1, …일 때, 복소 평면상에서 Stieltjes transform $S_a(z)$과는 다음과 같은 관련성을 갖음을 보였다.
$S_N(z)$ = $c_Nv_N(z)+P_N(z)$ N=-1,0,1, …
여기서 $c_N$은 N에 의존하는 상수, $P_N(z)$는 다항식으로 차수가 N이고 $P_{-1}(z)=0$
이다.
한편, Bessel 다항식 ${B_n(x, O)}^∞_n=0$의 moment 수열 ${μ_n (0)}^∞_n=0$ 에 대하여, 초기치 $μ_n (0)$ 에만 변형을 주었을 때 생기는 Bessel Type의 직교 다항식은 Hendriksen ([2])이 한 것과는 다르게 구성하였는 데, 이것 역시 다음과 같은 미분 방정식 형태를 만족한다.
A(z,n)φ" + B(z,n)φ' + C(z,n)φ=O
여기서 A(z,n), B(z,n) 그리고 C(z,n)은 n에 의존하는 고정된 차수를 갖는 다항식이다.
그리고, 이 직교 다항식은 복소 평면상에서 만들어 진 것이기에 실수에서는 어떤 가중치 함수에 대해서 직교하는가 알아 보고자 하였다. Bessel Type의 다항식은 semi-classical임을 보임으로써 적당한 가중치 함수에 관한 식을 얻을 수 있다. 이것을 토대로 하여 Bessel Type의 다항식은 가중치 함수 ω(x) + cδ(x)에 대하여 직교함을 보였다. 여기서 ω(x)는 Bessel ${B_n(x, O)}^∞_n=0$의 실 가중치 함수, δ(x)는 Dirac Delta 함수이고 c는 적당한 상수이다.
