Finite element model reduction methods have been widely used to reduce the computational costs of structural analysis and design. Using model reduction methods, global (original) models can be approximated by reduced models with much smaller matrix size. Although various model reduction methods such as dynamic condensation and component mode synthesis (CMS) have been proposed over the last several decades, many challenging issues still must still be addressed to improve the solution accuracy and computational efficiency of reduced models. The work in this thesis focuses on the development of enhanced model reduction, general mode selection, and accurate error estimation methods to overcome the known disadvantages and limitations of existing model reduction methods.
In this work, we first develop a new component mode synthesis enhancing the Craig-Bampton (CB) method, the most popular model reduction method. To develop the enhanced CB method, the original transformation matrix in the CB method is enhanced considering the residual flexibility that contains the residual substructural modal effect, and the unknown eigenvalue in the enhanced transformation matrix is approximated by using O`callahan`s approach to Guyan reduction. Using the newly defined transformation matrix, global FE models can be more accurately approximated. We demonstrate its performance through numerical examples.
In model reduction methods, only a small proportion of the dominant degree of freedoms (DOFs) or the substructural modes is retained in the reduced model. Therefore, the accuracy of the reduced model highly depends on the choice of the retained dominant DOFs or substructural modes. In this work, we develop a new mode selection method for CMS methods. In contrast to the frequency cut-off mode selection method, in which substructural modes in sequence from the lowest substructural frequency to a cut-off frequency are retained, the proposed method selects the dominant substructural modes in accordance with the contribution of the substructural modes to the target global modes. Therefore, the new mode selection method enables the analyst to select substructural modes that can better represent the target global modes in the resulting reduced model. We then validate its performance and feasibility for both stiffness- and flexibility-based CMS (F-CMS) methods using a variety of numerical examples. We also provide a simple strategy to detect inaccurately approximated global modes in the reduced model, the correction of which leads to improved reduced models.
A major obstacle of model reduction methods has been the absence of a good methodology for estimating the reliability of reduced models. To resolve this issue, we develop a robust error estimator to accurately predict the relative eigenvalue errors. Derivation procedures show that the proposed error estimator is a direct approximation of the relative eigenvalue error. Therefore, using this new error estimator, the reliability of reduced models can be efficiently and precisely evaluated. In this work, we develop new error estimators for Guyan reduction, the CB method, and the F-CMS method.
Here, we also propose a high-fidelity formulation for interface reduction in the F-CMS method. Using the new formulation, we can construct more compact reduced models without significant loss of accuracy. Eigenvector relations between the global and reduced models are clearly defined in the interface reduction level. The performance of the present formulation is validated using numerical examples.
축소기법(model reduction method)은 원래의 유한요소모델(global finite element model)이 갖는 자유도(DOFs)를 효과적으로 감소시켜 구조해석 및 설계에 소요되는 시간을 줄이고자 개발되었다. 축소기법은 방법론에 따라 크게 자유도 기반 (DOFs based)과 모드 기반(mode based) 감소법으로 구분할 수 있다.
자유도 기반 축소기법은 원래 유한요소모델의 강성행렬과 질량행렬로부터 주요한 자유도(master DOFs)를 제외한 나머지 자유도(slave DOFs)를 응축(condensation)하여 원래 유한요소모델에 근사한 축소모델(reduced model)을 구성하는 방법을 말한다. 1960년대에 Guyan 기법이 제시된 이후 최근에는 IRS(improved reduced system, IRS) 방법과 이에 반복적 알고리즘을 더한 I-IRS (iterative IRS) 기법이 가장 널리 쓰이고 있다. 자유도 기반 축소기법은 최적의 축소모델 구성에 적용될 뿐만 아니라, 동적거동실험의 수치모델 구축, 센서의 최적 계측 위치, 구조물의 결함 측정 등에 다양하게 이용되고 있다.
모드 기반 축소기법은 개발 초기에 자유도 기반 축소기법에서 아이디어를 얻었으나, 부구조법(substructuring)의 적용으로 자유도 기반 축소기법에 비해 향상된 성능을 보여주었다. 모드 기반 축소기법은 응용수학 및 모달해석 분야 등에서 다양한 명칭으로 정의되지만, 본 연구에서는 전산구조동역학 분야에서 사용하는 부분구조합성법(component mode synthesis, CMS)을 사용하였다. 부분구조합성법은 먼저 하나의 거대 유한요소모델을 여러 개의 다루기 쉬운 부구조(substructure)로 분할하여 이에 대한 고유치 해석을 수행한다. 이후 얻어진 주요 부구조 고유모드 만을 이용해 원래의 유한요소모델에 근사한 축소모델을 구성하게 된다. 지난 50년간 다양한 형태의 부분구조합성법 관련 연구가 진행되었으며, 이 중 Craig-Bampton (CB) 기법, 유연도기반 부분구조합성법(flexibility based CMS, F-CMS) 등은 여러 연구를 통해 그 우수성이 입증되었다. 부분구조합성법을 이용하면 수치해석에 소요되는 시간을 줄일 수 있을 뿐만 아니라, 다양한 부구조물의 결합을 통해 제작되는 자동차, 비행기, 선박 등의 구조해석에 적합하기 때문에 연구 및 산업 현장에서 널리 사용되고 있다. 또한 최근에는 란초스(Lanczos) 및 부공간 축차(subspace iteration) 알고리즘과 더불어 거대 고유치 문제를 효과적으로 풀 수 있는 방법론의 하나로 각광을 받고 있다.
유한요소모델 축소기법의 주요한 연구이슈는 다음과 같다.
- 최적의 축소기법은 축소모델을 구축 함에 있어서 우수한 정확성(accuracy)과 계산 효율성(computational efficiency)을 동시에 담보할 수 있어야 한다.
- 축소기법을 이용해 최적의 축소모델을 구축하기 위해서는 적절한 주요 자유도 혹은 주요 부구조 모드를 선택할 수 있는 명확한 판단기준이 필요하다.
- 축소기법을 이용해 얻어진 축소모델의 신뢰성을 확보하기 위해서는 축소모델이 원래의 유한요소모델에 얼마나 근사한지를 판단할 수 있는 명확한 오차추정기법이 요구된다.
본 연구에서는 이와 같은 주요 이슈들을 해결하기 위해 새로운 형태의 부분구조합성법, 모드선택 및 오차추정기법 등을 개발하였다.
먼저 최적의 축소기법을 개발하기 위해 CB 기법을 향상시킨 새로운 부분구조합성법을 제안하였다. 원래의 CB 기법은 주요 부구조 모드 만을 사용한 변환행렬(transformation matrix)을 이용해 축소모델을 구성한다. 하지만 이때 고려되지 않은 여분의 부구조 모드(residual mode)를 고려하면 원래의 변환행렬의 보정이 가능하다. 여분의 부구조 모드에 의한 영향은 잔류 유연도(residual flexibility)로 표현이 되며, 잔류 유연도는 전체 유연도에서 주요 부구조 모드에 의해 계산되는 주요 유연도의 차로 손쉽게 계산이 가능하다. 따라서 새롭게 개발된 변환행렬을 이용하면 적은 추가 계산량 만으로도 축소모델의 정확성을 획기적으로 향상시킬 수 있다. 개발된 기법은 다양한 수치 예를 통해 그 성능을 검토하였으며, 기존의 CB 기법 및 F-CMS 기법과 비교해 우수성을 입증하였다.
두 번째로 F-CMS 기법의 경계 자유도(interface boundary DOFs) 감소를 위한 정식을 개발하였다. F-CMS 기법은 부구조간의 경계조건을 자유단(free interface boundary condition)으로 정의하기 때문에 완벽하게 독립된 병렬처리(parallel computing)가 가능하며, 모달해석의 실험 연동 등에 장점이 있다. 하지만 라그랑지승수(localized Lagrange multiplier)를 사용하여 구속조건(constraint condition)을 정의하기 때문에 고정 경계조건(fixed interface boundary condition)을 사용하는 CB 기법 등에 비해 축소모델의 크기가 크게 증가하는 단점이 있다. 이를 해결하기 위해 본 연구에서는 F-CMS 기법의 경계 자유도를 효율적으로 감소시킬 수 있는 정식을 제시하였다. 제시된 방법론을 사용하면 기존의 F-CMS 기법에 의해 정확성을 유지하면서, 모델의 크기는 크게 감소된 축소모델의 구축이 가능하다.
세 번째로 본 연구에서 부분구조합성법을 위한 모드선택기법을 개발하였다. 전통적인 모드선택기법인 주파수 cut-off 방식은 부구조의 고유주파수(natural frequency) 크기를 이용해 주요 모드를 선택하게 된다. 하지만 이러한 방식의 모드선택기법은 부구조의 기하학적/물적 특성 및 부구조간의 연결방식 등을 적절하게 반영하지 못해 축소모델의 신뢰성을 떨어뜨리는 요인이 된다. 이를 해결하기 위해 본 연구에서는 원래의 유한요소모델과 부구조가 갖는 고유벡터의 관계성을 이용해 부구조 모드를 선택할 수 있는 기법을 제안하였다. 이를 이용하면 원래의 고유벡터에 크게 영향을 미치는 부구조 모드를 판별할 수 있기 때문에 기존의 모드선택기법에 비해 원 고유벡터를 더 정확하게 근사할 수 있다. 개발된 모드선택기법은 다양한 수치 예를 통해 그 성능을 검토하였으며, 이전의 연구와 비교해 우수성을 입증하였다. 이에 더해 개발된 모드선택기법을 이용하면 부분적으로 수치오차가 큰 모드를 예측할 수 있을 뿐만 아니라, 해당 부분의 고유치 해석 결과를 선별적으로 향상 시킬 수 있다. 본 연구에서는 이에 대한 방법론과 해석절차를 추가적으로 제시하였으며, 수치 예를 통해 적용 가능성과 성능을 검토하였다.
마지막으로 본 연구에서는 축소모델의 신뢰성을 명확하게 판단할 수 있는 오차추정기법을 개발하였다. 원래 유한요소모델의 고유값과 고유벡터는 축소모델에서 얻어진 근사값과 오차로 표현할 수 있다. 이를 원래 유한요소모델의 고유치 문제에 대입하여 정리하면, 근사 고유값의 상대오차에 대한 근사식을 얻을 수 있다. 제시된 오차추정기법은 기존의 기법과 달리 직접적으로 각 모드 별 고유치 상대오차를 판별할 수 있을 뿐만 아니라, 별도의 계산 없이 효율적으로 오차를 추정할 수 있다는 장점이 있다. 개발된 오차추정기법을 실제 축소기법에 적용하기 위해서는, 원래의 것보다 더 정밀하게 근사된 변환행렬이 요구되기 때문에 축소기법의 방법론에 따라 각각 다른 형태의 오차추정식이 유도된다. 본 연구에서는 축소기법 중 Guyan 기법, CB 기법, 그리고 F-CMS 기법의 오차추정기법을 각각 개발하여, 그 성능을 검증하였다.
