In the thesis, interior conductivity reconstruction problems inferring from the interior current density data are considered. It is our main result that an anisotropic conductivity reconstruction in two dimensions is well-posed. This is relevant to an application of a medical diagnosis on human organism since human organism typically has an anisotropic conductivity.
In the first part of thesis, the well-posedness theorems on isotropic, orthotropic, and anisotropic conductivities are presented. An existence theorem is treated to the same extent as an uniqueness theorem; The admissibility conditions on the current data that are sufficient to imply the existence of the solution are defined prior to stating the theorems. They provide sufficient conditions to characterize differences between arbitrary vector fields and the current vector fields that are realizable electrically. The main results comes from that we can pose an equation or a system of equations of hyperbolic type on the solution.
In the second part of thesis, a numerical algorithm to reconstruct the conductivity is suggested. Isotropic and orthotropic materials can be treated by the algorithm. The algorithm has two advantages: Firstly, the conductivity reconstruction is obtained by directly solving equations of hyperbolic type without iteration process. Secondly, numerical approximations of divergence and curl operator are exact, which is known to be of mimetic type. Since this scheme is realized as a resistive network of circuit theory in our context, we call the algorithm Virtual Resistive Network algorithm. Propagation of noises and the stability of the algorithm is investigated. Due to the nature of the hyperbolic problems, the noises would propagate along characteristic lines without cancellation. The numerical scheme composed by the mimetic idea turns out to be the one that may relax the hyperbolic nature of noise propagation.
주어진 영역을 흐르는 전류분포를 알때에, 옴의 법칙을 만족하는 전도도를 복구하는 문제를 다룬다. 가장 중요한 결과로서 2차원에서 이방성 전도도에 대한 Well-poseness 정리가 제시된다. 본 문제의 큰 동기가 인체조직의 전도도를 구하고자 하는 것에서 비롯되었고, 인체조직은 특히 이방성 전도도를 띈다는 것을 고려할때에, 이러한 결과는 의의를 가지고 있다 하겠다.
논문의 첫번째 파트에서는 Isotropic, Orthotropic, 그리고 Anisotropic 전도도에 대한 Well-posedness 정리가 제시되어있다. 특히 해의 존재성에 관한 정리를 해의 유일성에 관한 정리만큼 중요하게 다루었다. 해의 존재성을 보장하기 위한 데이터의 충분조건을 위의 정리들과 병행하여 제시한다. 이 조건들은 임의의 벡터필드데이터와 전기적으로 실현가능한 벡터필드데이터의 차이를 특징지우는 하나의 충분조건이 된다. 한편 주요 정리들을 증명하는 것의 핵심단계는 전도도를 미지수로 하는 Hyperbolic 타입의 미분방정식을 세우는 것이다.
논문의 두번째 파트에서는 전도도를 구하는 수치 알고리듬이 제안되어 있다. Isotropic과 Orthotropic 전도도에 대하여 적용할 수 있는 알고리듬이다. 여기서 제안한 알고리듬은 두가지 장점이 두드러진다. 첫번째는 위에서 언급한 Hyperbolic 타입의 미분방정식을 직접 풀어서 전도도를 계산하기 때문에, 반복적 구조를 사용하지 않는다는 점이다. 두번째는 미메틱 방법으로 알려진 이산화과정을 사용하여, div와 curl 오퍼레이터들을 꼭 맞게 이산화된 수준에서 오차없이 계산한다는 점이다. 이러한 이산화에서 얻어진 수치 구조는 회로이론에서 저항네트워크를 구성한 것으로 해석할 수 있기때문에, 우리는 이 알고리듬을 가상저항네트워크 알고리듬이라 부른다. 노이즈의 전파와 알고리듬의 노이즈에 대한 안정성이 탐구된다. 일반적으로 노이즈가 상호 소거되지 않고, characteristic line을 따라 전파되는 것은 Hyperbolic 타입 문제의 본질적 성질이다. 논문에서 사용된 미메틱 방법에 의한 수치구조는 이러한 Hyperbolic 타입 문제의 특징을 완화하는 것으로 나타났다.