Images obtained from MRI or CT scanner are two-dimensional and parallel. In some cases, we need to reconstruct a surface from contours on 2-D cross-section images. For example, currently, Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography (MREIT) recovers conductivity of tissues by solving two-dimensional forward problems. However, for more accurate conductivity reconstruction, it is required to solve three-dimensional forward problems and create a surface which encloses a 3-D volume as computational domain. In addition, 3-D reconstruction of the blood vessel or the organ is necessary in computational biology.
We consider two requirements for the surface reconstruction. First, it is required that the reconstructed surface satisfies the accuracy of surface reconstruction, which means that the surface exactly passes through each given contour on parallel planes. Secondly, the surface should be smooth enough because blood vessels or organs of the human body are smooth. In addition, since the contours are usually obtained by image segmentation methods based on the level set method, we assume that the contours are given by the level set functions. To the best of our knowledge, there are no methods to satisfy both requirements in present.
In this dissertation, we propose a new surface energy based on gradient of the surface normal vector for the smoothness of the reconstructed surface. This energy is a simpler form which keeps the role of the energy based on the total curvature. The new surface energy enforces the surface to be flat and $C^2$ continuous. Also, we propose a methodology to impose constraints to match the given contours to the reconstructed surface exactly based on the level set function with the Heaviside function. With the new surface energy and the new methodology for constraints, we define an energy minimization problem with constrains. Because the Euler-Lagrange equation of the minimization problem is nonlinear fourth order problem, we introduce auxiliary variables to reduce the order of the Euler-Lagrange equation and remove the nonlinearity. Using the augmented Lagrangian method and the alternating direction method, we find the minimizer of each subproblem. In numerical implementation for derivatives, the standard central difference scheme generate a surface with bumps for slanted contours. To remedy this situation, we introduce a 45℃ rotation invariant scheme in 3D by extending the 2-D rotation invariant scheme. Finally, we obtain the reconstructed surface by applying image segmentation method. Numerical tests are presented with four contour sets. Bifurcations and holes are well reconstructed by the level set functions.
자기 공명 영상(MRI) 또는 컴퓨터 단층 촬영(CT) 스캐너로부터 얻는 영상은 2차원이고 평행한 영상이다. 몇몇 경우에 있어서, 2 차원 영상의 윤곽선으로부터 표면을 만들어내는 것이 필요하다. 예를 들어, 현재는 전도율 영상법(Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography; MREIT)은 2차원의 정문제를 풀어내어 조직의 전도율을 복구한다. 그러나, 더 정확한 전도율의 복구를 위해서는 3차원의 정문제를 풀고 계산 영역인 3차원의 부피를 나타내는 표면을 만들어 내는 것이 요구된다. 또한, 계산생물학에서는 혈관이나 장기의 3차원 복구를 하는 것이 요구된다.
표면복구를 위하여 두 가지 요구사항을 고려한다. 첫 번째로, 복구된 표면이 정확해야 한다. 이것은 복구된 표면이 평행한 평면위에 주어져 있는 윤곽선을 정확하게 지나야 하는 것을 의미한다. 두 번째로, 사람 몸의 혈관이나 장기의 표면은 부드럽기 때문에 복구된 표면이 충분히 부드러워야 한다. 또한, 주로 등위 집합 방법(level set method)에 기반한 영상 분할(image segmentation) 방법에 의하여 윤곽선이 얻어지므로, 윤곽선은 등위 집합 함수로써 주어진다고 가정한다. 우리가 아는 한에서, 현재 이 두가지의 요구사항을 만족하는 방법은 없다.
이 학위논문에서는, 복구된 표면이 부드럽기 위하여 표면의 법선벡터의 경사도에 기반하여 새로운 표면 에너지를 제시한다. 이 에너지는 total curvature의 역할을 보존하는 간단한 형태이다. 새로운 표면 에너지는 복구된 표면이 평평하고, $C^2$ 연속이 되도록 한다. 또한, Heaviside 함수를 적용한 level set 함수에 기반하여, 주어진 윤곽선과 복구된 표면이 정확히 일치하는 제약 조건을 부가하는 방법론을 제시한다. 새로운 표면 에너지와 제약조건을 위한 방법론을 가지고, 제약조건이 있는 에너지 최소화 문제를 정의한다. 정의한 에너지 최소화 문제의 Euler-Lagrange 식은 비선형이고 4차 문제이므로, 보조변수를 도입하여 Euler-Lagrange 식의 차수를 줄이고 빈선형을 제거한다. Augmented Lagrangian method와 alternating direction method를 이용하여 각각의 하위문제의 최소점을 찾는다. 미분에 관한 수치적 구현에서, 표준의 중앙 차분 방법은 기울어진 윤곽선을 가지고 복구한 표면은 둔덕을 만들어 낸다. 이 상황을 해결하기 위하여, 2차원의 회전 불변 방법을 확장한 3차원의 45도 회전 불변 방법을 소개한다. 마지막으로, 영상 분할 방법을 이용하여 복구된 표면을 얻을 수 있다. 수치 실험이 4개의 윤곽선 집합으로부터 수행되었다. 분기와 구멍들은 등위 집함 함수에 의하여 잘 복구된다.
