Isogeometric analysis enables direct communication between geometry modeling and computational analysis by using the same basis function, Non-Uniform Rational B-spline (NURBS). Recently, from the viewpoint of direct communication, spline-based finite element method (FEM) with trimming technique has proposed. In this method, by utilizing the CAD information of trimming curves and trimmed surfaces, it is possible to analyze any surfaces with arbitrary topology. However, to extend this method to three dimensional (3D) cases, there are some difficulties to overcome.
In CAD system, a solid model is represented by the boundary surface information and it is called Boundary representation (B-rep) method. That is, control points needed for analysis are only located on the outer surfaces of the solid. Thus, 3D analysis model with inner control points has to be constructed from outer surface control points. Also, 3D analysis method is needed for the solid model of arbitrary topology created by the Boolean difference operation in CAD.
In this study, isogeometric analysis for trimmed solid model is proposed. In volumetric parameterization, construction method of analysis model as trivariate tensor product form is introduced. From the CAD file, control points information for each surface are rearranged and integrated to apply the discrete Coons volume method which generates inner control points from six boundary surfaces. Using the initial analysis model which has coarse placement of control points, 3D knot insertion is performed as a global refinement. In 3D isogeometric analysis, linear elastic FE analysis is performed for genus-0 solids. For arbitrary topology solids, trimming technique is adopted instead of dividing complex solid model into multiple patches. To realize the trimmed volume analysis method, searching algorithm and integration scheme for 3D trimmed elements are studied. Among the seven types of pre-defined trimmed elements, three types of trimmed elements formed by ‘extrude command’ in the CAD system are treated. Each trimmed element is decomposed into tetrahedral integration cells for the numerical integration. For the integration of curved tetrahedral cells, 3D NURBS-enhanced integration scheme employed in NEFEM is adopted. Numerical examples for the problems of various kinds of genus solids are presented.
The proposed method can be extended to spline-based 3D shape or topology optimization, 3D contact analysis, etc. By applying this method to practical engineering problems, it is expected that the true sense of CAD/CAE integration system will be realized.
등기하 해석은 형상 모델에 쓰이는 기저함수인 NURBS(Non-Uniform Rational B-spline)를 해석에도 사용함으로써 직접적인 연계가 가능하도록 한 해석 방법이다. 최근에 이러한 직접적인 연계의 관점에서 트리밍 기법을 이용한 스플라인 유한요소법이 제안된 바 있다. 이 방법은 캐드(CAD)에서 제공되는 트림곡선과 트림평면의 정보를 이용하여 복잡한 위상의 어떠한 평면도 해석할 수 있는 방법이다. 하지만 일반적인 3차원 문제까지 확장하기 위해서는 극복해야할 과제들이 있다.
캐드에서 3차원 형상은 경계표현법이라 불리는 외부 표면의 정보로 표현된다. 즉 해석에 필요한 제어점의 정보들이 입체의 외부 표면에서만 제공된다는 뜻이다. 따라서 3차원 해석을 위해서는 외부 표면의 제어점 정보로부터 내부 제어점을 생성하는 과정이 필요하다. 또한 캐드의 부울 연산으로부터 생성되는 임의의 위상을 갖는 입체에 대한 3차원 해석 방법이 개발되어야 한다.
본 연구에서는 트림된 입체 형상에 대한 스플라인 유한요소법을 제안한다. 3차원 매개변수화에서는 삼변수 텐서곱 형태의 해석 모델을 생성하는 방법을 개발한다. 캐드 파일로부터 제공되는 제어점 정보는 모델링 방법에 따라 다르게 표현되기 때문에 이를 정리하고 통합하여 내부 제어점을 생성하기 위한 정보를 구성한다. 내부 제어점은 여섯 면의 외부점으로부터 내부점을 생성하는 방법인 discrete Coons volume 방법을 이용한다. 캐드에서 제공되는 제어점 정보를 토대로 3차원 매듭 추가를 수행하여 해석에 필요한 수준까지 요소를 세분화하고, 3차원상의 제어점 개수를 증가시킨다.
3차원 등기하 해석에서는 먼저 트림되지 않은 입체에 대한 선형 탄석해석을 수행한다. 임의의 위상을 갖는 트림된 입체에 대한 해석은 기존의 다수의 패치로 입체를 분할하는 과정 대신 트림되지 않은 입체 정보와 여기에 구멍을 내는 트림곡면의 정보를 이용하는 트리밍 기법을 적용한다. 트림입체해석을 실현하기 위해 트림요소를 판별하고, 이를 적분하는 방법을 연구한다. 7가지의 트림요소를 정의하고, 이 중에서 돌출방법으로 형성된 3가지의 트림요소를 다룬다. 각 트림요소는 다시 사면체 형태의 적분셀로 분할하며 곡면을 포함하는 사면체 적분셀은 3차원 NEFEM에서 사용된 방법을 응용하여 적분한다. 마지막으로 트림곡면에 경계조건을 부과하는 방법에 대해서도 연구하며 제안된 방법을 다양한 예제에 적용하여 타당성을 검증한다.
제안된 트림입체해석 방법은 3차원 스플라인 형상 최적화나 위상최적화, 접촉 해석 등에 적용할 수 있다. 또한 실제 공학 문제에 적용함으로써 진정한 의미의 설계-해석 간의 직접적인 연계를 이룰 수 있을 것으로 기대된다.
