A flat shell element is generally obtained by combining a plane membrane element and a plate bending element, and its performance is influenced by each of the performance of membrane and plate elements. A three node triangular flat shell elements are often preferred for analyses of very thin structures in complex geometries, because of fully automatic mesh generation and hp-adaptivity. However, a three-node triangular shell element generally possesses lower performance than a quadrilateral shell element, because of a poor performance of the membrane component. There are many methods to enhance the performance of the triangular membrane elements, i.e. mixed-formulation, hybrid stress/strain, etc., but adding the drilling rotations on nodal DOFs is used as the one of the simple and powerful methods.
Among many of triangular membrane elements with drilling DOFs, the ANDES element has many merits for use of the membrane component of a flat shell element. The ANDES element does not require any other stabilization matrices, and has a full-rank stiffness matrix without any spurious zero energy modes. Moreover, the ANDES element has free parameters that are included in its stiffness matrix that can be used to control the element’s behavior.
However, the presence of the drilling DOFs may cause undesirable locking phenomena in the shell analysis, that is, the model can become excessively stiff because the drilling DOFs associated with the bending activate membrane strains as well as bending strains. This locking phenomenon, which is termed as membrane locking or drill rotation locking, is one of the remaining difficulties in the development of defect-free flat shell elements.
In this study, we develop a 3-node triangular flat shell element by using the ANDES formulation while consider the method to alleviate the membrane locking problem. The free parameters included in the ANDES template are determined for better use of proposed element on curved shell geometry. Generally, the membrane locking phenomenon is alleviated by lowering the portion of the stiffness associated with the drilling DOFs. However, this will also cause the performance of the membrane element become lower. Hence, in order to further enhance the element behavior, the strain smoothing technique is applied to the membrane component of the proposed shell element. As another method to alleviate the membrane lock-ing, a simple stiffness modifying factor is also introduced. Through various numerical benchmark exam-ples, the performance of the proposed element is tested and compared the results with other pre-developed elements.
평면 쉘 요소는 일반적으로 평면 응력 막 요소와 평판 요소를 결합시켜 얻게 되며 구성하는 각 요소의 성능에 따라 쉘 요소의 전체적인 성능이 결정된다. 특히 3절점 삼각형 평면 쉘 요소는 자동화 요소망 생성의 장점과 요소 뒤틀림이 나타나지 않는 다는 점, 적응적 요소망 세분화를 적용하기 간편하다는 점 때문에 복잡한 기하 형상을 가지는 얇은 구조물 해석에 유용하게 사용될 수 있다. 하지만 삼각형 쉘 요소는 절점 수 부족으로 인한 고차 변형 모드 표현의 제약으로 막 요소 부분의 성능이 크게 떨어져 사각형 쉘 요소에 비해 전체적으로 낮은 정확도를 보인다는 문제점을 가지고 있다. 삼각형 쉘 요소의 성능을 향상시키기 위한 많은 연구가 진행되어 왔으며, 대표적인 것으로는 혼합 정식화와 감차 적분법, 드릴링 회전 자유도의 추가, 가정 응력/변형률 법, 변형률 평활화 등이 활용되어 왔으나 그 중에서도 드릴링 회전 자유도의 추가와 변형률 평활화는 단순하면서도 가장 효과적인 성능 향상을 가져오는 방법 중 하나이다.
본 연구에서는 3절점 삼각형 평면 쉘 요소의 성능을 향상 시키기 위해 막 요소에 드릴링 회전 자유도를 추가하고 여기에 변형률 평활화 기법을 적용하였다. 드릴링 회전 자유도를 가지는 막 요소를 구성하기 위해서 Felippa가 제안한 ANDES 막 요소 수식화를 이용하였다. ANDES 요소는 행렬 랭크가 모두 채워져 있어 별도의 안정화 행렬을 요구하지 않으며, 가상의 제로에너지 모드가 나타나지 않는다. 또한 ANDES 요소는 수식화 내에 여러 자유 파라미터를 포함하고 있는데 이들 파라미터의 조절에 따라 요소 거동을 자유롭게 조절할 수 있다는 특징을 가진다. 드릴링 회전 자유도는 삼각형 평면 응력 요소에서 고차 변형 모드를 추가시켜서 요소 면내 굽힘 변형 성능을 크게 향상시키는 효과를 가져오지만 이 요소가 평판 요소와 결합하여 평면 쉘 요소로 구성될 경우 인접한 쉘의 평판 요소 굽힘 성능을 구속시키는 막 잠김 현상을 유발하게 되어 얇은 두께의 쉘 요소 거동을 나쁘게 만드는 문제점을 유발한다. 쉘 요소에서 막 잠김 현상을 제거하기 위해 여러 수치 실험을 통해 ANDES 요소 내의 자유 파라미터 값을 적절하게 선택하는 과정을 수행하였다. 또한 ANDES 요소에서 막 잠김을 유발하는 원인이 되는 강성 부분에 별도의 강성 수정 계수를 도입하였다.
한편 변형률 평활화는 요소를 감차 적분 기반의 여러 개의 부 요소로 분할하여 적분한 뒤 이를 영역 가중 평균하여 강성 행렬을 계산하는 기법으로 요소의 뻣뻣한 거동을 비약적으로 향상시킬 수 있다. 그러나 변형률 평활화는 기본적으로 감차 적분을 기반으로 하기 때문에 고차 변형률 장을 가진 요소에 적합하지 않은 특성을 지니며, 때에 따라서는 강성 행렬 특성을 불안정하게 만들 가능성이 있다. 본 연구에서는 막 요소의 성능을 향상시키기 위해 삼각형 요소망에 활용이 적합한 요소 경계 기반 변형률 평활화 기법을 이용하였다. ANDES 막 요소는 일정 변형률 장 기반의 기본 강성과 고차 변형률 장 기반의 고차 강성의 조합으로 구성되므로 여기서 일정 변형률 장에 해당되는 기본 강성에 대해 변형률 평활화 적용이 가능하다. 제안된 쉘 요소에서 막 잠김 현상을 억제하기 위해 선택한 ANDES 요소 수식화 내 자유 파라미터는 드릴링 회전 자유도에 의한 면내 굽힘 변형 성능 향상 효과를 감소시키지만 변형률 평활화를 적용함으로써 성능 향상을 유지할 수 있다.
평면 문제에서 막 요소로서의 성능을 비교한 결과 제안된 요소는 다른 회전 자유도를 가진 요소들에 비해 다소 성긴 요소망에서 성능이 조금 떨어지고 편이지만 요소망 세분화와 함께 빠르게 참조해로 수렴하였다. 그리고 굽힘 변형 지배 문제에서 다른 회전 자유도를 가진 요소들에 나타나는 드릴링 회전에 의한 막 잠김 현상이 제안된 요소에서 도입한 강성 수정 계수 및 ANDES 요소 자유 파라미터 선택으로 효과적으로 억제될 수 있음을 확인할 수 있었다. 그리고 제안된 요소에서 부드러운 응력장을 얻기 위해 초수렴 조각법을 이용하여 응력 회복을 수행하였으며, 단순 절점 가중 평균으로 절점 응력장을 계산한 경우보다 더 정확도가 높은 부드러운 응력장을 얻을 수 있었다.
