We will find the approximation of an input signal $f$ in $L^2(\Real)$ with multi pre and post filters $\{\psi_i\}_{i=1}^{M}$ and $\{\phi_j\}_{j=1}^{N}$ respectively. For each $1\leq i \leq M$, we will vary the sampling rate and take $\{\langle f(t),\psi_i(t-q_{i}k)\rangle | k\in\mathbb{Z}\}$ as measurement(of generalized samples). With this samples, we will reconstruct its consistent approximation $\widetilde{f}$ in the reconstruction space. We call $\widetilde{f}$ is a consistent approximation if samples of $f$ and $\widetilde{f}$ are totally same. In this paper we find several equivalent conditions for existence of consistent approximation.
샘플링이란 신호를 숫자의 나열로 바꾸는 일련의 작업을 말한다. 샘플링이론은 시초인 Shannon의 방법에서 출발하였는데 band-limited인 신호에 대해서만 가능하였다. 안타깝게도 time-limited와 band-limited는 공존할 수 없는 사실이 알려져있다. 무한정 긴 신호를 처리할 수가 없는 우리에겐 이 방법은 적절치 않다고 할 수 있겠다. 따라서 이 이론은 20세기 후만들어 큰 변화를 맞게 된다. 함수값에서 얻어내던 정보를 우리는 샘플링 벡터라는 함수들과의 내적으로 얻어낸다. 그중 주목할 만한 이론은 Michael Unser에 의해 소개된 Consistent Sampling이라고 하며 따라서 자연스럽게 Projection 개념을 떠올릴 수 있다. 이 논문에선 각 샘플링 벡터의 sampling rate를 바꿀 수 있는 방법을 고안하며 그 동치조건들을 찾아내었다.
