A scale-free network is the type of network where the edge strength is of no interest but its existence only counts. The network is a useful tool for representing linkages between nodes such as the linkages between participants in a social network and those in a world-wide community or in a internet. A main feature of the scale-free network is the node-degree distribution which is mostly in the form of a power function of the node-degree. As for the BA (Barabasi-Albert) model, the power function is of degree 3. In this thesis, we generalized the BA model in several aspects. One of them is that we introduced uncertainty to the number of the new edges which are created by a new comer to a network, while the number is a constant for the BA model. We investigated the effect of the uncertainty, in particular, in the context of the mean and variance of the uncertainty model. Another is that, when the number of newly created edges is assumed dependent upon the age of the network, we derived exact distributions of the node-degrees. We also investigated the entropy of the node-degree distribution of a network and compared our proposed model with others with a favorable result. As for the initial attractiveness of a node, our generalized model was shown to be a generalized version of the existing results. In a nutshell, our introduction of uncertainty to the number of newly created edges leads us to a generalization of the BA model in several aspects.
우리 사회에서 발견되는 실제 네트워크는 degree 분포가 정규분포나 포아송 분포가 아닌, 멱분포의 형태로 많이 나타난다. 이러한 분포를 가지는 네트워크를 척도 없는 네트워크라고 하는데, 이에 대한 모델을 본 논문에서 살펴보았다. 기존에 연구되었던 BA 모델은 멱분포 지수가 3으로서, 다른 지수는 갖지 못하는 구조이다. 하지만 실제로 네트워크는 다양한 멱분포 지수를 가지며, BA 모델로는 설명할 수 없는 부분이 있었다. 따라서 본 논문에서는 BA 모델을 여러 가지 방법으로 일반화하여 3이 아닌 멱함수 분포를 가지는 분포를 찾았다.
BA 모델은 연결선 수가 일정하다고 가정을 하는데, 우리는 연결선 수에 분포를 주어 분석했다. 일반적인 분포에 대하여, 확률변수의 평균으로 표현되는 정상적인(stationary) degree 분포의 식을 찾았다. 그리고 감마분포, 연속균등분포, 포아송 분포 등 다양한 연결선 수 분포에 대하여 시뮬레이션을 하여 대략적인 degree 분포를 분석하였는데, 척도 없는 네트워크의 성질을 가지고 있으며, 멱분포 지수는 3보다 작은 값이 나왔다. BA 모델에서는 연결선 수 분포의 분산이 0이라고 볼 수 있는데, 따라서 분포의 분산 정도가 얼마나 멱분포 지수를 작게 만드는지를 결정한다는 결론을 얻을 수 있었다. 그리고 연결선 수가 계속 일정하기보다는, 시간이 지남에 따라 증가하는 것이 현실적이라고 판단하여, 그에 대한 모델도 만들었다. 이 모델에 대해서 degree 분포의 식을 찾았고, 정확히 척도 없는 네트위크가 됨을 증명하였다. 하지만 연결선 수가 증가하면 시간(node의 개수)에 따라 바뀌는 분포를 가지게 되는데, 따라서 이를 네트워크의 가속성장을 이용하여 분석하고, 엔트로피를 알아보았다. 그리고 BA 모델에서는 각각의 노드가 가지는 새로 추가된 노드와 연결되는 힘이 자신의 degree와 비례하는데, 여기에 initial attractiveness를 설정하여 모델을 만들었다. 기존 연구와 같은 결과를 연속체 이론을 이용하여 이끌어 낼 수 있었다. 그리고 멱분포 지수는 2보다 큰 값들을 initial attractiveness을 변화시킴에 따라 얻을 수 있었다. 마지막에는 initial attractiveness와 연결선 수의 분포를 모두 이용하여 degree 분포를 얻었다. 본 논문의 결과들이 실제 네트워크를 분석하는 데 있어서 degree 분포를 이용하여 더 정확한 해석을 할 수 있을 것이라 기대한다.
