In this dissertation, the M/G/1 queue with a substitute server is discussed. During the main server is out of system because of server vacation or server breakdown, the system does not stop working but provides services at a low rate. As a typical example of a queueing system with a substitute server, a one type of queueing system with working vacation is introduced. Furthermore, a queueing system with disasters and a substitute
server which is the little-known system is analyzed.
As a working vacation queueing model, the M/G/1 queue with a single working vacation and vacation interruption is discussed. During the working vacation period, the server does not stop working but provides services at a low rate. At the instant of service completion, if there are customers in the system during the working vacation period, the server is forced to come back to the normal working level.
As a disaster queueing model, the M/G/1 queue with disasters and working breakdowns is discussed. The system consists of a main server and a substitute server, and disasters only occur while the main server is in operation. The occurrence of disasters forces all customers to leave the system and causes the main server to fail. At a failure instant, the main server is sent to the repair shop and the repair period immediately begins. During the repair period, the system is equipped with the substitute server which provides the working breakdown services to arriving customers
Using the supplementary variable technique, the stationary queue length distributions of two model are obtained. The laplace-stieljes transforms of the waiting time distribution are also presented. Furthermore, the results of the cycle analysis are presented. Finally, some numerical experiments are conducted.
1. 연구배경
1.1. 휴가 중단이 존재하는 워킹 휴가형 대기행렬 시스템
서비스가 완료되고 바쁜 기간이 끝나서 시스템 내에 고객이 한 명도 남지 않게 되면 단수 워킹 휴가 기간이 시작된다. 단수 워킹 휴가 기간이 끝나고 서버가 돌아왔을 때 시스템에 아무도 없다면, 서버는 고객이 오기를 기다린다. 만약 서버가 워킹 휴가에서 돌아왔을 때 시스템에 고객이 존재한다면 정상적인 서비스로 전환하여 서비스를 제공하게 된다. 휴가 기간이 끝나고 서버가 돌아왔을 때, 워킹 휴가 정책에 의해서 낮은 서비스 율로 서비스를 받고 있는 고객은 받고 있던 서비스를 중지하고 서버에게 정상적인 서비스 율로 서비스를 받게 되는데, 이때 여태까지 낮은 서비스 율로 받았던 서비스는 소용없는 서비스로 잃어버리게 된다. 즉 워킹 휴가 기간을 끝내고 돌아왔을 때 시스템 내에 존재하는 모든 고객에 대해서 새로 정상적인 M/G/1 의 바쁜 기간이 시작된다고 생각한다. 워킹 휴가 기간에 서비스가 이루어졌을 경우에 대기하는 고객이 존재한다면 서버는 그 순간 워킹 휴가를 끝내고 그 고객부터 정상적인 서비스를 진행하게 된다. 즉 휴가 중단이 일어난다. 휴가 중단(vacation interruption) 개념은 Li and Tian[28] 이 처음 제안한 개념으로써, 서버가 휴가를 떠난 후 어떠한 이유에 의해서 휴가를 중단하고 다시 정상적인 서비스를 제공하기 위해 시스템으로 돌아오게 되는 상황을 의미한다. 예를 들어 워킹 휴가 기간 동안에 시스템 내의 고객이 일정 수준 이상을 넘어가거나, 워킹 휴가 기간 동안 일정 수준 이상의 고객이 서비스를 받고 나간 경우 서버가 즉시 돌아와서 정상적인 서비스를 하게 되는 경우가 있을 수 있다. 이 논문에서는 워킹 휴가 기간 동안에 서비스 완료 후 한 명의 고객이라도 있을 경우 서버가 돌아오는 경우에 대해서 연구하였다.
1.2. 고장 중에도 보조서버가 서비스를 제공하는 대기행렬 시스템
서비스를 제공하는 도중에 어떤 요인에 의해서 서버가 고장이 나게 되면 시스템 내의 모든 고객은 시스템을 떠나게 되고 서버는 수리에 들어가게 된다. 수리 중에 도착하는 고객은 보조서버에 의해 서비스를 받게 되고, 서버가 돌아왔을 때 시스템에 고객이 존재한다면 정상적인 서비스로 전환하여 서비스를 제공하게 된다. 수리가 끝나고 서버가 돌아왔을 때, 보조서버에 의해서 낮은 서비스 율로 서비스를 받고 있는 고객은 받고 있던 서비스를 중지하고 서버에게 정상적인 서비스 율로 서비스를 받게 되는데, 이때 여태까지 낮은 서비스 율로 받았던 서비스는 소용없는 서비스로 잃어버리게 된다. 즉 수리가 끝내고 돌아왔을 때 시스템 내에 존재하는 모든 고객에 대해서 새로 정상적인 M/G/1 의 바쁜 기간이 시작된다고 생각한다.
2. 연구 목적 및 의의
본 연구에서는 보조서버가 존재하는 대기행렬 시스템을 두 가지 시스템을 통해 소개한다. 한가지는 그 동안 많은 연구가 이루어졌던 워킹 휴가형 대기행렬 시스템으로 비교적 최근에 소개된 휴가 중단이라는 개념을 추가하여 소개한다. 나머지 한가지로는 서버 고장이 존재하는 대기행렬 시스템으로 수리 중에도 보조서버가 서비스를 제공하는 시스템을 분석한다. 본문에서는 휴가 중단이 존재하는 워킹 휴가형 M/G/1 대기행렬 시스템과 고장 중에도 보조서버가 서비스를 제공하는 M/G/1 대기행렬 시스템을 분석하여 주요 성능 척도인 임의 시점 고객수 분포와 체재시간 분포를 유도한다. 여러 경우에 대한 성능 척도를 부가변수법 (supplementary variable technique)을 통하여 유도한다. 이를 통해, 주어진 모형에서의 고객수 분포와 체재시간 분포를 체계적인 분석 과정과 함께 완성된 형태(closed-form)로써 제시한다. 추가적으로 싸이클 분석과 수치예제도 제시한다.
