Active magnetic bearing (AMB) has been recently applied to high performance rotating machineries such as flywheel energy storage system, momentum wheel and turbo-machinery, because the AMB can support high speed rotors with many promising advantages over conventional rolling-element and fluid-film bearings such as no mechanical contact between rotor and stator, low power loss, elimination of lubrication and adjustability of bearing force characteristics. The AMB is inherently unstable due to the pre-magnetization of electro-magnets, and thus decentralized proportional-integral-derivative (PID) feedback control has been widely adopted for stable and reliable operation of the rotors supported by a pair of active magnetic bearing systems. High performance rotor-AMB system has increasingly demanded higher rated rotational speed so that the control problems related to the stability and the vibration become dominant. The present study develops practical complex PD control methods such as an eigenvalue assignment and an optimal isotropic PD control for the rigid and flexible rotor-AMB systems, respectively, which can facilitate the high-speed operation of the rotor by solving the associated stability and vibration problems.
Because of the AMBs’ limited specific bearing capacity compared with that of the conventional bearings, the dynamic behavior of a rotor supported by AMBs is often dominated by the rigid body modes including the translational and conical modes, which are normally well separated in frequency from higher flexural bending modes. The gyroscopic moment itself is conservative and is not a destabilizing factor. However, it has been reported that the decentralized PID control were not successful for high speed operation of a rigid rotor-AMB system with a strong gyroscopic effect due to the instability of the conical modes caused by phase-lagged electro-magnetic control force. To solve this problem, an eigenvalue assignment for decoupled translational and conical modes is proposed in the complex domain to yield a unique PID controller in a closed form, preserving the isotropic bearing characteristics. The eigenvalue assignment necessitates the preliminary constraints required for decoupling of the two modal equations associated with the translational and conical whirl motions from the complex matrix equation of motion written in the center of gravity(CG) coordinates of the rigid rotor. The constraints are irrespective of the rotational speed so that they are readily applicable to the actual rigid rotor-AMB system. A flywheel energy storage system is taken as the simulation example in order to demonstrate the validity and effectiveness of the proposed eigenvalue assignment. The simulation results show that the eigenvalue assignment algorithm is superior to conventional control methods including PD cross feedback and pseudo decoupled control at systematically ensuring sufficient stability margins for the lightly-damped and unstable conical modes, guaranteeing the high speed operation of the rigid rotor-AMB system with large gyroscopic effect.
The excessive synchronous vibration due to inherent mass imbalance near the flexural critical speeds is a most crucial problem to be solved for the high speed operation of the flexible rotor-AMB systems. The AMB system is the bidirectional actuator which generates both the vertical and horizontal control forces simultaneously. Utilizing this advantageous feature of the AMB, the present study proposes the optimal isotropic PD controller which introduces the cross-coupled derivative control gains in addition to the decentralized PD control gains while keeping isotropic bearing characteristics. The proposed PD controller has the form of complex diagonal gain matrices, and the systematic way for obtaining the optimal PD gain matrices are developed in the complex domain. First, the reduced model in the complex modal space is formulated from the finite element model by truncating insignificant high-frequency modes in terms of the mode selection index that is developed to evaluate the complex modes in terms of the input and output energies. Next, the quadratic performance index in consideration of both the reduction of the unbalanced vibration and the minimum modal stability margin is defined. Finally, the efficient computational algorithm searching for local minimum of the performance index with respect to the complex diagonal PD gain matrices is derived based on the explicit gradient expressions of the eigenvalues and the modal vectors with respect to the control gains. A flexible rotor-AMB system carrying three rigid disks are taken for the numerical simulation, and the numerical results show that the optimal isotropic PD controller succeeds to significantly reduce the excessive unbalanced vibration near the flexural critical speed by increasing the modal damping of the associated flexural mode, leading to the smooth operation up to the rated rotational speed.
전자기 베어링은 고정자와 회전자 사이에 마찰이 없고 베어링 특성을 능동 제어를 통해 변경할 수 있는 등 기존의 구름, 유체 베어링등과 비교하여 많은 장점들을 갖고 있으며 플라이휠 에너지 저장 장치, 모멘텀 휠, 터보기계 등과 같이 회전체를 고속으로 회전시켜 높은 성능을 얻고자 하는 회전기계에 널리 사용되어 왔다. 전자기 베어링은 바이어스 전류에 의한 근원적인 불안정성을 해결하기 위해 피드백 능동제어가 필수적이며 여러 방법 중에 분산(decentralized) PID 제어법이 널리 활용되고 있다. 이는 비례(proportional), 미분(derivative), 적분(integral) 게인이 물리적으로 선형 강성, 점성 감쇠, 정적 강성 지수 등과 각각 대응되어 그 응용이 직관적이고 편리하기 때문이다. 한편 최근 전자기 베어링을 채용한 회전기계의 성능을 극대화하고자 회전체의 회전속도를 더욱 높이려는 시도와 연구개발이 이루어지고 있으며, 이에 따라 발생하는 안정성 및 진동과 관련된 문제들을 해결하는 것이 점점 중요해지고 있다. 특히 강체 회전체-전자기 베어링 시스템의 경우 고속에서 발생하는 각각의 원뿔 모드의 불안정성이 유연 회전체-전자기 베어링 시스템의 경우 유연 위험 속도에서의 과도한 불균형 응답이 가장 큰 문제점이다. 분산 PID 제어법을 포함한 기존의 방법들은 이러한 문제점들을 해결하는데 많은 약점이 있고 제한적 응용성능을 보이기 때문에 이 연구에서는 이를 극복하고자 강체 및 유연 회전체-전자기 베어링 시스템의 각각에 대해 실용적인 복소(complex) PD 제어법으로서 고유치 배치법(eigenvalue assignment)과 최적 등방 PD 제어법(optimal isotropic PD control)을 제안하였으며 그 효율성을 입증하였다. 복소 영역에서 제어기를 정의함으로써 회전체의 고유한 복소 모드인 역방향 및 정방향 모드를 구체적으로 다룰 수 있게 되었다.
전자기 베어링의 제한된 지지력으로 인해 많은 경우 회전체의 동적 거동은 강체 회전체 모드, 즉 병진과 원뿔 모드를 바탕으로 묘사하게 된다. 강체 회전체의 자이로스코픽 모멘트는 보존적인 힘이므로 이론적으로 강체 회전체-전자기 베어링 시스템을 직접적으로 불안정하게 만들지 않는다. 하지만 플라이휠 에너지 저장 장치 등과 같이 매우 큰 자이로스코픽 효과를 갖는 강체 회전체-전자기 베어링 시스템들에 대해 위상 지연된 제어력에 의해 발생하는 원뿔 모드의 불안정성으로 말미암아 회전체를 고속으로 회전시키지 못하는 문제점들이 보고 되었다. 이러한 고속 회전의 문제점을 해결하기 위해 PD 교차 제어(PD cross feedback), 유사 비연성 제어(pseudo decoupled control) 등과 같은 방법들이 개발되었으나 고속에서 너무 큰 제어 입력을 요구하거나 제한적인 안정 속도 영역을 제공하는 등의 단점이 있어 분산 PID 제어법과 마찬가지로 완전한 해결책으로서 인정받지 못하고 있다. 이 연구에서는 이러한 안정성에 대한 문제를 해결할 뿐만 아니라 진동과 관련된 여러 요구 성능들을 동시에 만족시키기 위해 비연성된(decoupled) 병진과 원뿔 모드에 대한 고유치 배치법을 제안하였다. 이 제어법은 우선 회전체의 무게 중심 좌표계를 바탕으로 복소 영역에서 정의된 2차(second-order) 행렬 운동 방정식의 시스템 행렬들이 대각화되도록 제한 조건들을 부가하여 비연성된 병진과 원뿔 선회 운동에 대응하는 두 개의 1차 운동 방정식을 구성한다. 새롭게 구성된 두 운동 방정식의 고유치는 각각 비연성된 병진과 원뿔 모드에 대응한다. 비연성된 모드들의 고유치를 원하는 동적 특성을 만족하도록 지정할 경우 제안된 알고리즘에 의해 유일한 PID 게인이 도출된다. 제안하는 방법은 모드를 분리하기 위한 제한 조건들이 회전속도에 무관하게 적용되며 PD게인은 온전히 고유치 배치에만 활용될 수 있다. 무게 중심 좌표계가 아닌 다른 좌표계를 활용할 경우 질량과 자이로스코픽 행렬의 비대각항을 상쇄할 수 없어 모드의 비연성화는 불가능해진다. 플라이휠 에너지 저장장치를 활용하여 제안된 방법의 효율성을 검증하기 위한 모의 실험을 수행하였다. 그 결과 전류 증폭기, 전자석의 인덕턴스 등에 의한 제어력의 주파수 동특성을 알고 있을 때 감쇠가 거의 없거나 불안정한 원뿔 모드에 대해 충분한 모드 감쇠를 부여할 수 있게 되어 기존의 방법과는 달리 시스템을 원하는 고속 회전 속도까지 운용하는 것이 가능해졌다.
전자기 베어링을 채용한 터보기계, 압축기 등과 같은 회전기계는 회전체의 경량화와 고속 운전을 통해 그 성능을 비약적으로 높일 수 있으나 유연 위험속도에서의 과도한 불균형 응답을 용인할 수준만큼 억제시켜야 고속회전이 가능하게 된다. 기존의 많은 방법들은 전자기 베어링이 서로 직교하는 두 방향의 제어력을 발생시킬 수 있는 양방향 구동기라는 특성을 활용하지 못하고 단방향 구동기로써만 활용하였다. 따라서 이 연구에서는 분산 PD 제어 게인에 더해 서로 직교하여 교차하는 미분 게인을 도입하여 미분 게인 행렬이 스큐대칭(skew-symmetric) 형태를 갖는 새로운 등방 PD 제어기를 제안하였다. 이 때 제안된 PD 제어기는 복소영역에서 대각 행렬의 형태를 갖게 된다. 이 제어기에 의해 발생하는 베어링힘은 회전체-베어링 시스템의 등방성을 유지하며 비보존력을 발생시키지 않기 때문에 많은 유연 구조물 제어에서 발생하는 스필오버(spill-over) 불안정성 문제에서 자유로운 장점이 있다. 한편 등방 PD 게인 행렬을 복소 모달 영역에서 최적화하기 위한 최적 제어 기법을 제안하였다. 이를 위해 불균형 진동과 최소 모드 안정성을 고려한 2차 형식(quadratic form)의 성능 지수를 정의하였고 이를 최소화하는 복소 영역에서의 수치적인 방법을 개발하였으며 부분 극소해로 수렴한다는 것을 보였다. 이 때 성능 지수의 제어 게인에 대한 기울기 함수는 복소 모드의 고유치와 모달 벡터의 기울기 함수들을 바탕으로 계산하였다. 제안된 방법의 효율성을 검증하기 위해 3개의 디스크를 갖는 유연 회전체-전자기 베어링 시스템에 대한 모의 실험을 수행하였다. 그 결과 최적화된 PD 게인 행렬은 유연 위험 속도 부근에서 발생하는 과도한 불균형 응답을 분산 PD 제어법과 비교하여 월등히 효과적으로 줄여준다는 것을 확인하였다. 이러한 불균형 응답의 감소는 위험 속도에 해당하는 유연 모드의 모드 감쇠 효과를 최적 PD 게인을 통해 획기적으로 증가시킴으로써 달성되었다.
