An important capability for a subdivision scheme is the
reproducing property of circular shapes or parts of
conics that are important analytical shapes in geometrical
modeling. In this regards,
this thesis first provides necessary and sufficient conditions for a
non-stationary subdivision to have the reproducing property of
exponential polynomials.
Then, the approximation order of such non-stationary schemes is discussed
to quantify their approximation power.
Based on these results, we see that the exponential
B-spline generates exponential polynomials in the associated
spaces, but it may not reproduce any exponential
polynomials.
Thus,
we present {\em normalized} exponential B-splines that
reproduce certain sets of exponential polynomials. One interesting
feature is that depending on the normalization factor, the set of
exponential polynomials to be reproduced is varied. This provides us
with the necessary accuracy and flexibility in designing target
curves and surfaces.
Some numerical results are presented to support the advantages of
the normalized scheme by comparing them to the results without
normalization.
In fact, the dimension of the space of exponential polynomials
reproduced by the normalized exponential B-spline is limited to $2$,
which leads to the limitation of the approximation order.
By sacrificing the support of the subdivision mask, the defect can be
overcome.
We present the exponential {\em quasi}-spline with the unlimited reproduction capability
by generalizing the exponential B-spline.
Its built-in parameters enable us to control the tension of the limit curve
so that the artifact of the interpolatory schemes occurred in
highly irregular region of control points can be avoided.
Depending on the asymptotic equivalence of (non-)stationary schemes,
we analyze the smoothness of the exponential quasi-spline and provide
the actual computation for it.
Numerical examples which show fruitful benefits obtained from
the exponential quasi-spline are provided.
In the aspect of wavelet theory and application,
the subdivision mask can be used to construct the wavelet systems.
In this thesis, the tight wavelet frame is constructed from
the quasi-spline which is the stationary version of the exponential quasi-spline.
The built-in parameters which guarantee the (anti)symmetric wavelet frame generators
are determined. Based on the results, we construct near shift-invariant
filter systems.
기하학적 모델링에 있어 원이나 원뿔 등의 해석적 형태를 재생산하는 것은
세분법의 중요한 성능중에 하나이다.
이러한 관점에서, 본 학위논문에서는 비정적 세분법이 지수 다항함수를 재생산
할 필요충분조건을 제공하고, 이로부터 연유되는, 함수에 대한 근사도를 규명한다.
또한 이러한 결과를 바탕으로, 기존의 지수 B-스플라인은 연관된 지수 다항함수를
생성할 수는 있지만 그들을 재생산 할 수는 없음을 밝히고,
이를 가능케하는 정규화된 지수 B-스플라인을 제시한다.
정규화된 지수 B-스플라인의 흥미로운 특징 중에 하나는 정규화 요소에
따라 다양한 지수 다항함수를 재생산할 수 있다는 점이다.
이러한 점은 곡선이나 표면을 디자인할 때 필요한 정확성과 유연성을 제공한다.
다음으로, 정규화를 할 경우가 그렇지 않을 경우 대해 가져올 수 있는 장점을
수치적인 결과를 통해 뒷받침한다.
한편, 정규화된 지수 B-스플라인에 의해 재생산될 수 있는 지수 다항함수 공간은
2차원으로 제한되어 있어 함수 근사도에 제약이 있는 것이 사실이다.
이러한 단점은 세분법 마스크의 길이를 조금 늘림으로써 극복이 가능하다.
이를 위해 본 학위논문에서는 지수 B-스플라인에 대한 일반화를 통해
그러한 제약이 없는 지수 유사-스플라인을 제안한다.
지수 유사-스플라인에 내재된 파라미터들은 세분법에 의해 생성되는 곡선의
팽팽함 정도를 제어함으로써,
고르지 않은 분포를 갖는 제어점들의 영역에서
기존의 보간 세분법들에 의해 야기되는 폐해를 방지할 수 있게 한다.
본 학위논문에서는 (비)정적 세분법들 간의 점근적 동질성을 기반으로
지수 유사-스플라인의 부드럽기를 분석하고 이에 대한 실질적 게산법을
제공한다. 마지막으로, 수치결과를 토대로 지수 유사-스플라인으로부터 얻을 수 있는
풍부한 장점들을 제시한다.
웨이브릿 이론 및 응용의 관점에서 볼 때,
세분법 마스크는 웨이브릿 시스템을 구성하기위해 사용될 수 있다.
본 학위논문에서는 지수 유사-스플라인의 정적인 형태의 유사-스플라인으로부터
타이트 웨이브릿 프레임을 구성한다.
대칭인 웨이브릿 프레임 생성자를 가능하게 하는 파라미터들을 결정하고,
이를 기반으로, 거의 이동불변인 필터 시스템을 구성한다.
