In the present study, a high-order accurate flow solver based on a discontinuous Galerkin method coupled with a hp adaptive technique has been developed on unstructured meshes. By using the high-order accurate flow solver, numerical tests were conducted to estimate the convergence order of numerical solutions to the Ringleb flow and the supersonic vortex flow for which analytic solutions are available. In the simulation of supersonic vortex flow where curved boundaries are present, it was found that a meaningful high-order accurate solution can be obtained only when a corresponding high-order approximation of the curved-sided elements is employed. And, by performing the numerical simulations of flows over a circular cylinder and around a NACA0012 airfoil, the higher-order discontinuous Galerkin methods are much more efficient than lower orders in the aspects of computational time to obtain the same accuracy level of steady-state solutions.
A vortex convection problem in freestream and an acoustic benchmark problem were examined to assess the accuracy of the present flow solver for the simulation of unsteady flows. In addition to the assessment of the accuracy, the efficiency of the higher-order discontinuous Galerkin method relative to a lower-order method was also evaluated by performing the mesh tests. From the accuracy assessment of the present high-order discontinuous Galerkin flow solver, it was found that to preserve a vortex without numerical dissipation over a long travel distance and to accurately resolve acoustic waves, the element sizes of 0.05, 0.25, and 0.50 relative to the characteristic length are required for the DG(1), DG(2), and DG(3) calculations, respectively. It was also found that the numerical efficiency enhancement by increasing the order of accuracy of the scheme is more profound when the approximate solutions are enriched from linear to quadratic polynomials, from DG(1) to DG(2), compared to that from quadratic to cubic polynomials, from DG(2) to DG(3). An airfoil-vortex interaction problem was also investigated, coupled with a hp adaptive technique, for achieving a further enhancement of the calculation efficiency and capturing discontinuities such as shock waves. It was shown that the present high-order discontinuous Galerkin flow solver preserves the vortex structure for a significantly longer vortex convection time. The acoustic waves also propagate for a considerably longer distance away from the airfoil, while resolving the detailed mechanism of the generation of the compressibility and transonic acoustic waves.
본 연구에서는 비정렬 격자계에서 hp 적응 기법과 연계된 고차 정확도 불연속 갤러킨 기법을 개발하였다. 개발된 고차정확도 불연속 기법을 이용하여 엄밀해가 존재하는 Ringleb 유동과 초음속 유동에 적용함으로써 기법의 정확도를 검증하였으며, 초음속 와류 유동의 경우에서는 곡면의 물체 경계를 고차 정확도로 근사하여야만 비물리적인 수치 오차 없이 정확한 수치해를 얻을 수 있음을 확인하였다. 그리고, 원형 실린더 유동 및 NACA0012 익형 주위의 유동 등 정상유동에 적용함으로써 동일한 정확도를 얻기 위해 고차 정확도 기법이 저차 정확도 기법에 비해 높은 계산 효율성을 보임을 제시하였다.
고차 정확도 불연속 갤러킨 기법을 자유류에서의 와류 전파 문제에 적용하여 고차 정확도 기법과 저차 정확도 기법의 와류 보존 특성을 파악하였다. 계산은 와류 코어 반경과 동일한 크기를 가지는 균등한 격자계에서 수행되었으며, 사차 정확도를 가지는 DG(3) 기법은 오랜 시간 동안 전파된 와류를 완벽하게 보존할 수 있음을 확인하였다. 또한 정렬 격자계에서 개발된 고차 정확도 기법들과의 비교를 통해 불연속 갤러킨 기법이 보다 우수한 와류 보존 특성을 가짐을 보였다. 더불어, 격자 테스트를 수행함으로써 고차 정확도 기법의 계산효율성을 평가하였다. 동일한 와류 보존도를 얻기 위해, 사차정확도 기법인 DG(3)은 이차정확도 기법인 DG(1)에 비해 약 30배 이상 계산 효율성을 가짐을 확인하였으며, 이러한 계산효율성은 대부분 기법의 정확도를 DG(1)에서 DG(2)로 증가시킬 때 발생함을 확인하였다. 평균 유동값에 비해 매우 미소한 압력 요동으로 표현되는 음향파에 대한 불연속 갤러킨 기법의 포착 능력을 확인하기 위해 CAA benchmark 문제에 대한 해석을 수행하였다. DG(3)은 음향파 파장 길이의 1/2크기를 가지는 격자에서도 의 음향파 거동을 완벽히 포착할 수 있었으며, 이차정확도 기법에 비해 약 20배 이상의 계산 효율성을 가짐을 확인하였다.
수치해의 정확도 및 계산효율성을 극대화 하기 위해 고차 정확도 불연속 갤러킨 기법과 동적 격자 적응(h-adaptation) 기법을 연계하였다. 그리고, 불연속면이 존재하는 유동에 대한 강건성 확보를 위해 불연속면이 탐지된 영역에 대해서는 저차 정확도 기법을 사용하고, 부드러운 유동 영역에서는 고차 정확도 기법을 사용하는 정확도 적응(p-adaptation) 기법을 적용하였다. 충격파 영역을 구분하기 위해 요소 경계면에서의 불연속성에 기반한 충격파 탐지기를 적용하였으며, 충격파 영역으로 구분된 요소에서는 저차 정확도를 사용함과 동시에 기울기 제한자를 적용하였다. 개발된 hp-적응 기법을 이용하여 강한 충격파가 발생하는 초음속 전방 계단 문제에 대한 비정상 해석을 수행하였으며, 고차 정확도 기법으로도 충격파의 비정상 거동을 강건하게 포착할 수 있음을 확인하였다. 그리고, 높은 유동 구배를 가지는 와류의 전파, 미소한 압력 요동으로 나타나는 음향파 생성 및 전파, 그리고 불연속면으로 표현되는 충격파 등 다양한 스케일의 유동특성이 공존하는 익형-와류 간섭 문제에 대한 해석을 수행하였다. 동적 hp 적응 기법을 연계한 고차 정확도 계산의 경우 와류를 완벽하게 보존함과 동시에 압축성 및 천음속 음향파의 생성과 전파를 우수한 해상도로 포착할 수 있음을 확인하였다.
